4. Алгоритм расчета дисперсионных характеристик плоского трехслойного оптического волновода

Рассмотрим алгоритм расчета дисперсионных характеристик плоского трехслойного оптического волновода на примере TE-мод.

На первом этапе при выбранных параметрах ипутем численного решения уравнения (21) определяются нормированные частоты отсечек. Для решения уравнения (21) может использоваться любой итерационный метод нахождения корней (метод бисекции, метод хорд, метод секущих и т.д.). Уравнение (21) имеет бесконечное число корней, каждый из которых определяет частоту отсечки TE-моды с индексом(порядковый номер корня). Самый минимальный по значению корень соответствует частоте отсечки нулевой (основной) TE-моды.

На втором этапе при различных значениях нормированной частоты численно решается уравнение (19) и определяются его корни. Расчет необходимо начинать с нормированной частоты, равной частоте отсечки нулевой моды, которая была рассчитана на первом этапе. Очевидно, что приуравнение (19) будет иметь один корень, соответствующий нормированной постоянной распространения нулевой TE-моды. Приуравнение (19) будет иметь уже два корня, больший по значению из которых соответствует нулевой моде, а меньший — первой. Приуравнение (19) будет иметь три корня и т.д.

Таким образом, для каждой частоты путем численного решения уравнения (19) определяется набор корней, каждый из которых соответствует собственной волне(N — общее число корней на частоте ). В результате строится график функции , которая имеет несколько ветвей, соответствующих различным собственным волнам.

Примерный вид дисперсионной характеристики представлен на рис.2. По оси абсцисс отложены значения нормированной частоты , а по оси ординат — соответствующие им значения нормированной постоянной распространения. Кружками отмечены частоты отсечек собственных волн.

Рисунок 2. Типичный вид дисперсионной характеристики

Для построения дисперсионных характеристик TM-мод необходимо численно решать уравнение (22), предварительно перейдя в нем к нормированным переменным. Частоты отсечек TM-мод определяются путем решения уравнения (23). Алгоритм расчета дисперсионных характеристик TM-мод плоского трехслойного оптического волновода аналогичен рассмотренному выше случаю TE-мод.

Ниже рассматриваются возможности программы MathCad для расчета дисперсионных характеристик плоских оптических волноводов в автоматическом режиме.

Порядок выполнения лабораторной работы

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ:

п/п							Тип моды
1	4	3.2	3.6	-	-	-	TE (n=0,1,2)
2	4	3.2	3.6				TM (n=0,1,2)
3	3	2.5	2.5	-	-	-	TE (n=0,1,2)
4	3	2.5	2.5				TM (n=0,1,2)
5	3.8	3.3	3.5	-	-	-	TE (n=0,1,2)
6	3.8	3.3	3.5				TM (n=0,1,2)
7	4.2	4	4	-	-	-	TE (n=0,1,2)
8	4.2	4	4				TM (n=0,1,2)

Упражнение 1. Расчет частот отсечек собственных волн плоского трехслойного оптического волновода

Для указанных параметров необходимо определить нормированные частоты отсечек четырех низших TE или TM-мод(в зависимости от варианта задания). Для TE-мод нормированные частоты отсечек определяются путем численного решения уравнения (21), для TM-мод путем решения (23).

Рассмотрим алгоритм на примере TE-мод.

1. Запустите программу MathCad (версия не ниже 7.0). При помощи команды меню FileNew создайте новый документ в каталоге Вашей группы с названием вида: Вариант-Фамилия1-Фамилия2.mcd

2. Сначала необходимо произвести ввод параметров волновода. Так, должны быть заданы показатели преломления слоев nf, nc, ns и относительные диэлектрические проницаемости f, c, s.

3. Зададим функцию, равную левой части уравнения (21):

Здесь переменная x выступает в качестве частоты отсечки V.

4. Теперь необходимо определить все интервалы по координате V, на концах которых функция имеет различные знаки. Для этого проходим по значениям V с некоторым шагом h, вычисляем в каждой точке значения функции и если в двух соседних точках функция имеет различные знаки, то записываем в массив значение середины интервала. Эти действия выполняет функция SignChange:

Кроме того, нам необходимо написать функция, которая будет подсчитывать число таких интервалов:

Теперь на каждом из найденных интервалов определяем корни уравнения (21):

В результате в массив FRoot будут записаны все нормированные частоты отсечек V, например:

Заметим, что для использования приведенных выше функций необходимо в начале программы задать границы интервала поиска корней V_0 и V_max, а также шаг по параметру h. Функция root(f(x),x) является встроенной и позволяет определять корни трансцендентных уравнений методом секущих. Программа MathCad позволяет пользователю самому написать функцию, реализующую любой другой метод нахождения корней (например, метод бисекции или хорд).

Таким образом, мы определили нормированные частоты отсечек первых четырех TE-мод.