4. Решение задачи Стефана методом подобия

Решение задачи о промерзании может быть также получено при помощи метода подобия. Задача о промерзании является в некотором смыс­ле предельным случаем нелинейных краевых задач. В самом деле, коэффициенты теплопро­водности и теплоемкости в задаче о промерзании являются кусочно-постоянными функциями, и, кроме того, при u = 0 теп­лоемкость имеет бесконечно большое значение. Этот случай можно получить как предельный при ԑ 0, когда скрытая теп­лота выделяется не мгновенно, а на некотором промежутке -ԑ, +ԑ, причем должно выполняться условие

(41)

Однако эту задачу можно решить и непосредственно, пользуясь методом подобия. Нетрудно проверить, что все условия задачи останутся неизменными, если масштаб длины увеличить в k раз, а масштаб времени — в k² раз. Это значит, что решение задачи зависит от аргумента , т.е. что

(42)

Отсюда, в частности, следует, что движение нулевой изотермы будет описываться уравнением , гдеα — значение аргумента, при котором f(α) = 0. Для определения функции f мы имеем следующие условия:

(37)

(43)

(44)

(45)

Поэтому функция f(z) имеет следующий вид:

(46)

Для определения постоянных A₁, В_1; A₂, В₂ мы должны ис­пользовать условия (35) и (36), из которых вытекают формулы (39). Для определения α получается условие (40). Таким обра­зом, аналитическая часть решения в обоих методах одинакова.

Задачу о промерзании можно решать также и в тех случаях, когда скры­тая теплота выделяется не при фиксированной температуре, а на некотором интервале температур. Подобным же методом можно решить задачу, если имеется не одна, а несколько кри­тических температур, что встречается при фазовых превраще­ниях в процессе перехода от одной кристаллической структуры к другой, например, при перекристаллизации стали.

5. Задача Стефана в строительстве

К необходимости решения задачи Стефана часто приходят при теоретическом моделировании процессов тепломассопереноса, сопровождающихся изменением агрегатного состояния среды, в первую очередь ее плавлением или затвердеванием. Особенность данной задачи состоит в переменных размерах области, в которой исследуется температурное поле, за счет наличия подвижной границы раздела фаз, изучение поведения которой с течением времени и составляет основную цель решения. Физические свойства среды, находящейся в разных фазах (плотность, теплопроводность, теплоемкость и т.д.) будут различными. Поэтому задача Стефана характеризуется существенной геометрической и физической нелинейностью, что крайне затрудняет ее решение. Во всяком случае, общих аналитических методов ее решения при произвольной форме области и любом характере изменения температуры на ее границах до сих пор не найдено.

Тем не менее, решение задачи Стефана имеет большое значение для строительства, поскольку ею описывается значительное количество процессов, реально происходящих в ограждающих конструкциях здания во время его эксплуатации. В основном это касается изменения агрегатного состояния содержащейся в ограждениях влаги при колебаниях температуры наружного воздуха в холодный период года, как периодических (прежде всего суточных), так и скачкообразных, возникающих во время резких похолоданий, а также при изменении подачи тепла системой отопления ваварийных режимах. При этом в зоне перемещения фронта промерзания создаются крайне неблагоприятные условия эксплуатации материала ограждений вследствие чередующегося замерзания и оттаивания, что постепенно может привести к снижению прочности, а, в конечном счете, и к разрушению конструкции. Кроме того, значительная инерционность границы раздела фаз в заметной степени влияет и на характер распространения температурных волн в ограждении, а значит, и на его теплоустойчивость по отношению как к внутренним, так и внешним тепловым воздействиям, что, в конечном счете, сказывается на тепловом режиме помещения и условиях комфортности находящихся в нем людей.

Существует также ряд других задач, при определенных условиях встречающихся в строительстве и описываемых задачей типа Стефана, например, исследование огнестойкости увлажненных ограждений в условиях пожара. Здесь речь идет о поведении фронта парообразования, причем в данном случае задача осложняется возникновением направленного потока водяного пара через стенку за счет разности его парциальных давлений по обе стороны фронта. Следовательно, перенос тепла сопровождается процессом диффузии, что усиливает физическую нелинейность и вызывает появление конвективной составляющей теплового потока.

Особенность задачи Стефана в том, что область исследования состоит из двух зон, причем граница областей подвижна. Одной из основных целей решения является определение скорости перемещения границы раздела фаз. Покажем, как можно получить приближенное аналитическое решение задачи Стефана для простейшего случая - промерзания влажного ограждения, имеющего в начальный момент времени нулевуютемпературу, при резком понижении температуры на его наружной поверхности довеличины t_н, т.е. при граничных условиях первого рода. Обозначим массовое содержание замерзающей влаги в материале и ее удельную теплоту плавления соответственно как w, кг/кг, и r_пл, Дж/кг, а плотность материала стенки в сухом состоянии и коэффициент его теплопроводности в мерзлой зоне - как ρ₀, кг/м³ , и λ_м, Вт/(м·К). Удельная теплота фазового перехода, отнесенная к единице объема материала, составит wρ₀r_пл, Дж/м³. В этом случае толщина промерзшего слоя β, м, является функцией следующих параметров: λ_м, wρ₀r_пл, t_н и τ, где τ - интервал времени с момента понижения температуры.

Задача Стефана сводится к необходимости решения системы уравнений:

(47)

при краевых условиях:

Здесь T₁, и T₂ - температура ограждения соответственно в мерзлой и оттаявшей зоне; а₁, и а₂, м²/с - коэффициенты температуропроводности материала ограждения в этих зонах, принимаемые с учетом данных. В частности, а₁ = λ_м/c_мρ₀, где с_м, Дж/(кг - К) - удельная теплоемкость материала в мерзлой зоне. В дальнейших рассуждениях принято, что температура фазового перехода t_пл равна нулю, а начальная температура t₀ в области за фазовой границей равна t_пл.

Решение в первой области ищем, используя вариационный метод, в виде:

(48)

Из условия ортогональности невязки координатной функции

получим выражение для δ(τ) в виде:

(49)

Параметр А, а следовательно, и β определяются подстановкой температурного поля в форме (48) в выражение для условия на подвижной границе (условие Стефана), которое для рассматриваемых условий запишется так:

(50)

Сравнение с точным решением показывает, что погрешность результата, даваемого вариационным методом, не превышает 10%.

Поскольку общее число n физических величин, существенных для решения задачи, в данном случае равно 5, а количество независимых размерностей m, составляющих эти величины, равно 4 (м, кг, с, К), то есть m=n-1, по теореме Букингама существует однозначная функциональная связь между всеми параметрами задачи, которая может быть установлена и методом размерностей с точностью до числового коэффициента, не прибегая к непосредственному решению соответствующих дифференциальных уравнений. Несложно показать, что данная зависимость должна иметь следующий вид:

(51)

Знак «минус» в формуле (51) появляется из-за того, что t_н < 0, т.е. в решении участвует абсолютная величина t_н. Таким образом, и здесь толщина промерзшего слоя пропорциональна корню квадратному из времени. Данный результат вообще является весьма показательным, т.к. сама структура параболических дифференциальных уравнений, к которым относится и уравнение теплопроводности, вызывает появление зависимостей типа β~τ^1/2, поскольку в уравнение входит вторая производная основного параметра (в данном случае - температуры) по пространственной координате, и только первая - по времени. Сопоставление выражения (51) с результатами непосредственного приближенного решения и решением по вариационному методу (47)-(50) показывает, что числовой коэффициент k здесь можно выразить следующим образом:

(51a)

где безразмерное отношение играет роль критерия подобия, показывающего соотношение количества теплоты, теряемого промерзшей частью ограждения при ее охлаждении от t_пл до t_н, к теплоте фазового перехода. Очевидно, что условием применимости полученных зависимостей является |K|<< 1. Легко отметить, что учет теплоемкости приводит к замедлению перемещения фазовой границы.

График полученной зависимости для слоя утеплителя из пенополистирола призначениях параметров c_м = 1340Дж/кг·К, λ_м = 0,052 Вт/(м·К), w = 0,1, ρ₀ = 100 кг/м³ и t_н = -5°С (суточная амплитуда для Москвы) приведен на рис. 3. При этом К = -0,2.