МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

«Московский государственный индустриальный университет»

филиал ФГБОУ ВПО «МГИУ» в г. Сергиевом Посаде

Кафедра «Прикладная математика и информатика»

К У Р С О В А Я Р А Б О Т А

по дисциплине

«Уравнения математической физики»

на тему

« Задача Стефана о промерзании воды. Решение её методом подобия»

Выполнил:

Студент Волакова Ольга

Группа 6711 курс 3 семестр 6

Проверил:

Преподаватель Андреева Надежда Юрьевна

Оценка работы_________________________________

Дата сдано: «______»_______________20___г.

Дата проверено: «______»_______________20___г.

Сергиев Посад

2013 Содержание

ВВЕДЕНИЕ 3

1.Метод подобия 4

1.2. Математические основы метода подобия 6

1.3.Примеры использования метода подобия 10

1.3.1.Функция источника для бесконечной прямой 10

1.3.2. Краевые задачи для квазилинейного уравнения теплопроводности 14

2.Постановка задачи Стефана о промерзании воды 20

3.Стандартный подход к решению задачи Стефана 23

4.Решение задачи Стефана методом подобия 26

5.Задача Стефана в строительстве 28

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 34

Изученная литература: 35

Введение

Задача исследования условий формирования и динамики фазового перехода жидкость – твердое тело имеет широкое практическое применение, так как она непосредственно связана с вопросами запасания тепловой энергии, контролирования температуры и влажности, долговечности и прочности исследуемых систем. К тому же, энергия, накапливаемая во время плавления, может быть выделена во время процесса затвердевания, что ведет к широкому спектру различных энергетических задач. Возможные прикладные применения охватывают многочисленный круг технологий.

Так, для обеспечения нормального функционирования сооружений в условиях Западной Сибири необходим прогноз эволюции фронта промерзания-оттаивания грунта с целью разработки мероприятий по предотвращению деградации вечной мерзлоты.

Традиционной математической моделью явления теплопроводности в грунте с фазовым переходом является задача Стефана или задача о фазовом переходе.

Классической задачей Стефана называют простейшую одномерную задачу промерзания (оттаивания), кристаллизации (плавления), когда теплофизические характеристики, начальные и граничные условия принимаются постоянными.

Одним из методов решения задачи о фазовом переходе является метод подобия. Он применятся во многих задачах прикладного характера, в которых решения требуется учитывать большое число физических величин. Метод подобия, прежде всего, позволяет выделить безразмерные параметры, которые независимо влияют на исследуемый процесс. Такой подход позволяет упростить не только качественное исследование, но и численное моделирование задачи. Есть много примеров в истории науки, когда анализ безразмерных критериев помогал находить решение сложных задач, не прибегая напрямую к решению дифференциальных уравнений.