2. Постановка задачи Стефана о промерзании воды

При изменении температуры тела может происходить изме­нение его физического состояния, в частности при переходе тем­пературы через точку плавления — переход из жидкой фазы в твердую (или обратный переход). На поверхности фазового перехода все время сохраняется постоянная температура. При движении поверхности фазового перехода происходит выделе­ние скрытой теплоты затвердевания (плавления). Сформулируем те дополнительные условия, которые должны выполняться на поверхности затвердевания.

Рассмотрим плоскую задачу, когда поверхностью раздела является плоскость x=ξ(t). За время t, t+Δt граница х = ξ переместится от точки ξ=x₁ до точки ξ=x₂=x₁+Δξ. При этом затвердевает масса ρΔξ (или расплавляется, если Δξ<0) и выделяется соответствующее количество теп­ла λρΔξ.

Для выполнения теплового баланса это количество тепла должно равняться разности количеств тепла, прошедших через границы ξ= x₁ и ξ= х₂ т. е. должно выполняться условие

где k₁ и k₂ — коэффициенты теплопроводности первой и второй фазы, а λ – скрытая теплота плавления.

Переходя к пределу при Δt →0, мы и получим дополнитель­ное условие на границе раздела в следующем виде:

Это условие имеет место как для процесса затвердевания (когда Δξ > 0 и ), так и для процесса плавления (когдаΔξ < 0 и ); направление процесса определяется знаком левой части.

Рассмотрим процесс замерзания воды, при котором темпе­ратура фазового перехода равна нулю. Будем рассматри­вать массу воды х≥0, ограниченную с одной стороны пло­скостью х=0. В начальный момент t=0 вода обладает по­стоянной температурой с > 0. Если на поверхности x=0 все время поддерживается постоянная температура c₁ < 0, то гра­ница замерзания х=ξ будет со временем проникать вглубь жидкости.

Задача о распределении температуры при наличии фазового перехода и о скорости движения границы раздела фаз (напри­мер, внутри замерзающей воды) сводится к решению уравне­ний

(34)

с дополнительными условиями

(35)

и условиями на границе замерзания

(36)

u₁=u₂=0 при x=ξ,

(37)

где k₁, иk₂, - коэффициенты теплопроводности и температуропроводности твердой и, соответственно, жидкой фаз. Задачу (34)-(37) называют задачей Стефана, задачей о фазовом переходе или задачей о промерзании.

3. Стандартный подход к решению задачи Стефана

Решение задачи обычно ищут в виде

где A₁, B₁, А₂ и В₂ — пока неопределенные постоянные, а Ф — интеграл ошибок

Удовлетворяя условиям (35) и (36), получим:

А₁=с₁, А₂+B₂=c

из условия (35) и

из условия (36).Последние условия должны иметь место для любых значений t. Это возможно лишь при выполнении соотношения

,

(38)

где - некоторая постоянная. Соотношение (38) определяет закон движения границы замерзания.

Для постоянных A₁, B₁, А₂, В₂ и получаются выражения (39)

(39)

Чтобы определить постоянную α, надо воспользоваться соотношением (37)

(40)

Решение этого трансцендентного уравнения и дает значение α. Наличие хотя бы одного решения при с₁ < 0, с > 0 следует уже из того, что при изменении α от 0 до ∞ левая часть уравнения изменяется от -∞ до +∞, а правая — от 0 до -∞. В случае, если с равно температуре плавления (с = 0), то выражения (39) и (40) для определения коэффициентов принимают более простой вид:

(39')

и

(40')

Положив , можно переписать уравнение (40') в виде:

где постоянная D определяется:

Воспользовавшись графиком функции

(рис. 2), легко графически определить значение α.

Рис. 2. График функции φ(β).