4.1. Зарождение математики

Период зарождения математики начался с древнейших времен и закончился в VII‑V вв. до н. э. Это был период накопления фактического материала, тесно связанного с потребностями хозяйственной жизни — развитием ремесла, земледелия, обмена и торговли, исчислением податей, обеспечением войска продовольствием и оружием, измерением площадей земельных участков и объемов сосудов и т.д. Накопленные эмпирические знания подвергались систематизации, что привело к выделению особого вида понятий и методов решения задач, явившихся зачатками будущей математической науки.

Уже в этот период формируются три основные понятия, изучение свойств и взаимосвязей которых легли в основу дальнейшего развития математики: число, величина и геометрическая фигура. Пересчет элементов конечных множеств (убитых на охоте зверей, сделанных горшков, изготовленных стрел и т. д.), а также упорядочивание этих элементов привели к возникновению понятия натурального числа, как количественного, так и порядкового. Сравнение масс различных предметов, объемов сосудов, расстояний и т. д. привели к понятию величины. При этом первоначально величины различного вида рассматривались раздельно, так что точнее было бы сказать не о величине, а о величинах (например, меры массы не были связаны с мерами объема). Наконец, изучение формы изделий, зданий, земельных участков и т. д. привели к понятию геометрической фигуры — части геометрического пространства (слово «геометрия» означает землемерие).

Уже в глубокой древности были введены арифметические действия над натуральными числами, отражавшие операции над конечными множествами. Далее была установлена связь между натуральными числами и величинами — в некоторых случаях измерение данной величины определенной единицей давало ответ в виде натурального числа. В случаях, когда результат измерения не выражался натуральным числом, либо переходили к более мелкой единице измерения, либо выражали результат измерения дробью. Во всех практических задачах для выражения результатов измерения величин было достаточно дробей. С помощью наблюдений и простейших рассуждении люди пришли к формулам для вычисления геометрических величин — длин, площадей и объемов различных фигур. Тем самым был перекинут мост между арифметикой и геометрией. Более того, можно сказать, что в этот период геометрия и арифметика не разделялись, геометрические задачи ставились как особого вида задачи на вычисление.

В дошедших до нас древнеегипетских папирусах и древне вавилонских клинописных табличках уже содержатся правила выполнения арифметических действий, вычисления геометрических величин, методы решения типовых арифметических задач (некоторые из которых и сейчас встречаются в школьных задачниках), таблицы квадратов, кубов, обратных величин и т.д. Не только понятия натурального числа и измерения величины свободно использовались в то время, но и были созданы некоторые общие методы решения арифметических задач, которые можно назвать «праалгеброй», — вместо привычного сейчас использования букв давались образцы решения задач.

Все это свидетельствует о довольно высоком уровне абстрактного мышления тогдашних математиков, которые выделили три центральных понятия: «фигура», «величина» и «число», нашли некоторые классы геометрических фигур (квадрат, прямоугольник, треугольник, прямоугольный параллелепипед, шар и т. д.), отметили типичные связи величин в материальном мире, зафиксировав их в виде типовых задач.

Решение практических задач потребовало умения обозначать натуральные числа и дроби, воплощать понятие числа в определенных символах. Были разработаны различные системы счисления, тесно связанные со счетом на пальцах (десятичная, двадцатеричная), а также двенадцатеричная и шестидесятеричная системы счисления, которые были очень удобны, так как давали возможность делить «круглые» числа без остатка на 3 (происхождение этих систем счисления не установлено до конца историками науки).

Вавилонские ученые умели решать уравнения первой и второй степеней (а в некоторых случаях — и более высоких степеней), решать задачи на прогрессии и т. д.

Однако, несмотря на накопление известного теоретического материала, математика того времени еще не была дедуктивной наукой — наряду с результатами, полученными путем тех или иных выводов, она содержала много эмпирических результатов, часть которых была даже ложной.

Задачи в древнеегипетских папирусах классифицировались не по методам решения, а по содержанию. Вместо доказательств писалось: «Делай, как делается», т. е. основой было не логическое рассуждение, а ссылка на авторитет предшественников. Основной задачей обучаемого было не понимание правил, а их запоминание.