diskretka

Комбинаторная математика.

Основные понятия

Комбинаторика Комбинаторный анализ — раздел элементарной математики, связанный с изучением количества комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, которые можно составить из заданного конечного множества объектов (безразлично, какой природы; это могут быть буквы, цифры, какие-либо предметы и т.п.).

комбинаторная конфигурация

Теория конфигураций рассматривает задачи выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества, в соответствии с заданными правилами.

Элементарными комбинаторными конфигурациями являются сочетания, размеще-

ния, перестановки. Для подсчёта числа этих конфигураций используются правила сум-

мы и произведения.

комбинаторные объекты

Элементы из которым составляются комбинации

2) размещения и сочетания постановка задач выбора и расположения.

Пусть у нас есть множество из трех элементов . Какими способами мы можем выбрать из этих элементов два? .

Определение. Размещениями множества из различных элементов по элементов называются комбинации, которые составлены из данных элементов по элементов и отличаются либо самими элемен-

тами, либо порядком элементов.

Число всех размещений множества из элементов по элементов обозначается через (от начальной буквы французского слова “arrangement”, что означает размещение), где и .

Теорема. Число размещений множества из элементов по элементов равно

Определение. Сочетаниями из различных элементов по элементов называются комбинации, которые составлены из данных элементов по элементов и отличаются хотя бы одним элементом (иначе говоря, - элементные подмножества данного множества из элементов).

Как видим, в сочетаниях в отличие от размещений не учитывается порядок элементов. Число всех сочетаний из элементов по элементов в каждом обозначается (от начальной буквы французского слова

“combinasion”, что значит “сочетание”).

Числа

Все сочетания из множества по два —

.

.

Свойства чисел

1. .

Действительно, каждому -элементному подмножеству данного элементного множества соответствует одно и только одно -элементное подмножество того же множества.

2. .

Действительно, мы можем выбирать подмножества из элементов следующим образом: фиксируем один элемент; число -элементных под-

Значение мультиномиального коэффициента определено для всех целых неотрицательных чисел n и таких,

что :

Биномиальный коэффициент для неотрицательных целых чисел n, k является частным случаем мультиномиального коэффициента (для m = 2), а именно

Математическая логика.

Логика высказываний.

Основные понятия пропозициональные переменные

пропозициональная переменная — переменная, значением которой может быть логическое высказывание, и (пропозициональная) формула, определяе-

мой индуктивноследующим образом[2]:

Если P — пропозициональная переменная, то P — формула.

Если A — формула, то — формула.

Если A и B — формулы, то , и — формулы.

Других формул нет.

Алфавитом называется любое непустое множество. Элементы этого множества называются символами данного алфавита. Словом в данном алфавите называется произвольная конечная последовательность символов (возможно пустая). Алфавит логики высказываний содержит следующие символы:

высказывательные переменные; логические символы;

символы скобок.

Определение. Слово в алфавите логики высказываний называется формулой, если оно удовлетворяет следующему определению:

Если P — пропозициональная переменная, то P — формула.

Если A — формула, то — формула.

Если A и B — формулы, то , и — формулы.

Других формул нет.

Логические связки и кванторы.

Конъюнкция (логическое И) & Дизъюнкция (логическое ИЛИ) Отрицание (логическое НЕ) ¬ Импликация (логическое ЕСЛИ-ТО) →. Квантор всеобщности («для каждого») Квантор существования («хотя бы один»)

интерпретация формул

Интерпретацией в узком смысле (или просто интерпретацией) называется функция

A {0,1}

такая, что (0)=0, (1)=1.

Выполнимость Противоречивость Противоречивая формула (невыполнимая, тождественно ложная) —

ложная в любой интерпретации (всегда ложная, при любых наборах значений).

Выполнимая формула (непротиворечивая, опровержимая) — не являющаяся противоречивой (не всегда ложная, не всегда истинная).

общезначимость Общезначимая формула (тавтология, тождественно истинная) — истин-

ная в любой интерпретации (всегда истинная, при любых наборах значений). Обозначается |=а. Пример: формула при любых

значениях и .

Равносильность Равносильность формул. Формулы

и равносильны, если при любых значениях входящих в них пропозициональных переменных логические значения,

получающиеся из формул и , совпадают. Обозначается:

().

Эквивалентные преобразования

.

простые логические функции. Тавтологии.

а) закон исключенного третьего;

б) закон отрицания противоречия; в) аконз двойного отрицания;

г) закон тождества;

Булевы функции

Булевой функцией f(x1, x2, …, xn) называется n-местная функция, аргументы которой принимают значения во множестве {0, 1} и сама функция принимает значения в этом же множестве.

Всякую булеву функцию от nпеременных можно задать таблицей из 2n строк, в которой в каждой строке записывают одну из оценок списка переменных, принимающих значение 0 или 1.

Основные понятия остаточная, единичная, нулевая,

ульарные функции [править]

При n = 0 количество булевых функций сводится к двум 220 = 21 = 2, первая из них тождественно равна 0, а вторая 1. Их называют булевыми константами — тождественный нуль и тождественная единица.

Таблица значений и названий нульарных булевых функций:

Унарные функции [править]

При n = 1 число булевых функций равно 221 = 22 = 4. Определение этих функций содержится в следующей таблице.

Таблица значений и названий булевых функций от одной переменной:

существенные и фиктивные переменные,

еменная xi называется фиктивной (несущественной) переменной функции f(x1,···,xn), если

f(x1,···,xi-1,0,xi+1,···,xn) = f(x1,···,xi-1,1,xi+1,···,xn)

для любых значений x1,···,xi-1,xi+1,···,xn. Иначе переменная xi называется существенной.

IV. Теория графов. Основные понятия Мультиграф

Мультиграф — граф, в котором может быть пара вершин, которая соединена более чем одним ребром (ненаправленным), либо более чем двумя дугами противоположных направлений.

Псевдограф

Псевдограф — граф, который может содержать петли и/или кратные рёбра.

Орграф

G = (V,E) есть пара множеств, где V — множество вершин (узлов), E — множество дуг (ориентированных рёбер). Дуга — это упорядоченная пара вершин (v, w), где вершину v называют началом, а w — концом дуги. Можно сказать, что дуга v → w ведет от вершины v к вершине w, при этом вершина w смежная с вершиной v.

подграф

Подграф исходного графа — граф, содержащий некое подмножество вершин данного графа и некое подмножество инцидентных им рёбер

Смежность

понятие, используемое в отношении только двух рёбер либо только двух вершин: Два ребра, инцидентные одной вершине, называются смежными; две вершины, инцидентные одному ребру, также называютсясмежными

изоморфизм графов

Маршрут в графе — это чередующаяся последовательность вершин и рёбер , в которой любые два соседних элемен-

та инцидентны. Если , то маршрут замкнут, иначе открыт.

Связность. Две вершины в графе связаны, если существует соединяющая их

(простая) цепь.

Понятия: цепь

Цепь в графе — маршрут, все рёбра которого различны. Если все вершины (а тем самым и рёбра) различны, то такая цепь называется простой (элементарной). В цепи вершины и называются концамицепи. Цепь с концами u и v соединяет вершины u и v. Цепь, соединяющая верши-

ны u и v обозначается . Для орграфов цепь называется орцепью.

цикл, простой цикл

Цикл — замкнутая цепь. Для орграфов цикл называется контуром.

Цикл (простой цикл) в орграфе — это простой путь длины не менее 1, кото-

рый начинается и заканчивается в одной и той же вершине.

компонента связности

некоторое подмножество вершин графа такое, что для любых двух вершин из этого множества существует путь из одной в другую, и не существует пути из вершины этого множества в вершину не из этого множества.

обхват, окружение

Обхват (англ.) — длина наименьшего цикла в графе.

Окружение — множество вершин, смежных с заданной.

Фактор. Степень вершины.

Степень вершины — количество рёбер графа G, инцидентных вершине x. Обозначается . Минимальная степень вершины графа G обозначается .

амаксимальная — .

n-Фактор графа — регулярный остовный подграф степени .

Остовный подграф — подграф, содержащий все вершины.

Двудольный граф.

Двудольный граф или биграф — это математический термин теории графов, обозначающий граф, множество вершин которого можно разбить на две части таким образом, что каждое ребро графа соединяет какую-то вершину из одной части

с какой-то вершиной другой части, то есть не существует ребра, соединяющего две вершины из одной и той же части.

Точка сочленения.

вершина графа, в результате удаления которой вместе со всеми инцидентными ей рёбрами количество компонент связности в графе возраста-

ет.

Блок. Разрез.

множество ребер, удаление которого делает граф несвязным.

Деревья.

Дерево — связный граф, не содержащий циклов.

Сеть.

Граф в котором вершины как то помечены

Т. Менгера-Уитни.

3) Обходы графов. Эйлеровы графы. Гамильтоновы графы.

Эйлеров путь (эйлерова цепь) в графе — это путь, проходящий по всем рёбрам графа и притом только по одному разу. (ср. Гамильтонов путь)

Эйлеров цикл — это эйлеров путь, являющийся циклом. Эйлеров граф — граф, содержащий эйлеров цикл.

Кроме того, согласно теореме, доказанной Эйлером, эйлеров цикл существует тогда и только тогда, когда граф связный и в нём отсутствуют вершины нечётной степени.

Гамильтонов граф — в теории графов это граф, содержащий гамильтонову цепь или гамильтонов цикл.

Гамильтонов путь (или гамильтонова цепь) — путь (цепь), содержащий каждую вершину графа ровно один раз. Гамильтонов путь, начальная и конечная вершины которого совпадают, называется гамильтоновым циклом. Гамильтонов цикл является простым остовным циклом (см. Словарь терминов теории графов). Задача определения содержит ли данный граф гамильтонов цикл является NP-полной.

Если неориентированный граф G содержит гамильтонов цикл, тогда в нём не существует ни одной вершины x(i) с локальной степенью p(x(i)) < 2. Доказательство следует из определения.