Глава 5. Дискретные случайные величины и их характеристики

Пусть ,- вероятностное пространство,–множество действительных чисел.

Определение. Случайной величиной называется действительная функция , () такая, что для каждого действительного

.

Напомним, что –-алгебра событий, то есть– некоторое событие вероятностного пространства.

Определение. Функция

(5.1)

называется функцией распределения вероятностей случайной величины .

Свойства функции распределения вероятностей:

1. для любого ;

2. - неубывающая, непрерывная слева;

3. т.е.,;

4. .

Определение. Случайные величины иназываются независимыми, если при любых действительныхиимеет место

.

К основным числовым характеристикам случайных величин относят математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется число

, (5.2)

(при условии, что ряд сходится). Здесь –значения случайной величины,–вероятность, с которой случайная величинапринимает значение.

Свойства математического ожидания.

1. Если , то. Иначе, где.

2. , где.

3. .

4. Если случайные величины инезависимы, то.

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется число

, (5.3)

(при условии, что ряд сходится).

Определение. Дисперсией случайной величины называется число

, (5.4)

Свойства дисперсии.

0. .

1. Если , то. Иначе, где.

2. , где.

3. Если случайные величины инезависимы, то

.

4. .

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины называют величину .

5.1. Дискретные случайные величины

1. Опыт состоит из трех независимых бросаний монеты, при каждом из которых герб совпадает с вероятностью . Для случайного числа появления герба построить: а) ряд распределения; б) функцию распределения; в) вычислить числовые характеристики.

2. В партии из шести деталей имеется четыре стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения случайной величины – числа стандартных деталей среди отобранных. Построить функцию распределения вероятностей и ее график. Вычислить числовые характеристики.

3. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны четыре детали. Написать ряд распределения числа нестандартных деталей среди отобранных четырех.

4. Случайные величины инезависимы, причем,,,. Найтии, если: а); б)в), где,,– постоянные величины.

5. Дан ряд распределения дискретной случайной величины :

а)		-2	-1	0	1	б)		-3	1	3	4
		0.1	0.2	0.2	0.4			0.3	0.2	0.1	0.4

Требуется: 1) записать функцию распределения вероятности величины и построить ее график; 2) построить ряд распределения случайной величины ; 3) определить числовые характеристики случайной величины.

6. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины, заданной законом распределения:

а)		3	5	7	9	б)		0	1	2
		0.4	0.3	0.2	0.1			0,3	0,5	0,2