сопромат / калякин 1318 КР1

2

Задача №1

Поперечное сечение бруса состоит из двух частей, соединенных в одно целое.

Требуется:

1.Вычертить схему сечения в масштабе 1:2, на которой указать положение всех осей и все размеры.

2.Найти общую площадь сечения.

3.Определить положение центра тяжести всего сечения.

4.Определить осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно осей, проходящих через центр тяжести сечения.

5.Найти положение главных центральных осей инерции, значения главных центральных моментов инерции, главных радиусов инерции и проверить правильность вычисления моментов инерции.

Исходные данные

Схема №8; Швеллер - №12 (ГОСТ 8240-72);

Равнобокий уголок – 90х90х9.

Решение

Определим характеристики элементов сечения.

1. Швеллер №12

Площадь сечения F₁ = 13,3 см⁴;

Собственные моменты инерции:

Сечение швеллера показано на рис.1.

2.Уголок 90х90х9

Площадь сечения F₂ = 15,6 см²;

Собственные моменты инерции:

I_x2 = I_y2 = 118 см⁴;

Сечение уголка показано на рис.2.

1. Общая площадь сечения

F = F₁ + F₂ = 13.3 + 15,6 = 28,9 см⁴

2.Определим положение центра тяжести сечения

3.Определим центральные осевые и центробежный моменты инерции сечения (относительно осей, проходящих через центр тяжести)

Центральные осевые моменты инерции

Центробежный момент инерции

4.Определим положение главных центральных осей инерции

5.Определим главные центральные моменты инерции

Проверка

1-я I_max + I_min = I_Xc + I_Yc 458,8 + 233,9 = 423,4 + 269,3 692,7 = 692,7

2-я I_max > I_Хc > I_Yc > I_min 458,8 > 423,4 > 269,3 > 233,9

Главные радиусы инерции

Задача №2

Стальной стержень (Е = 2*10⁵ МПа), один конец которого жестко защемлен, другой свободен, находится под действием продольных сил Р и распределенной нагрузки t = 20 кН/м. Отдельные участки стержня имеют различную площадь поперечного сечения F или 2F

Требуется:

1.Сделать схематический чертеж бруса по заданным размерам, соблюдая масштаб длин по вертикали.

2. Вычислить значения продольной силы N и нормального напряжения , построить их эпюры.

3. Определить перемещение сечения I - I.

Исходные данные

Схема – №8; F = 2,3 см²; a = 0,13 м; b = 0,11 м; c = 0,18; Р = 21 кН.

Решение

Определим N и .

Участок АВ 0  z₁  0,18 м

F_z = 0; N₁ - Р = 0; N₁ = Р = 21 кН.

Участок ВС 0,18 м  z₂  0,29 м

F_z = 0; N₂ - Р + t*(z₂ – 0,18) = 0;

N₂ = P - t*(z₂ – 0,18) = 21- t*(z₂ – 0,18); _z = N₂/F;

при z₂ = 0,18 м; N₂ = 21 кН;

при z₂ = 0,29 м; N₂ = = 21 - 20*(0,29 – 0,18) = 18,8 кН;

Участок СD 0,29 м  z₂  0,42 м

F_z = 0; N₃ - Р + t*0,11 - Р = 0;

N₃ = P - t*0,11 + Р = 21- 20*0,11 + 21 = 39,8 кН;

Определим перемещение сеч. I - I. Перемещение сечения I - I это изменение длины участков стержня ВС и CD, которые располагаются между заделкой и сечением, перемещение которого мы определяем.

Изменение длины участка ВС и CD определим по формуле

Выражение под интегралом это площади эпюры N на участках BC и CD, тогда перемещение сечения I - I определим по формуле

Задача 3

Абсолютно жесткий брус, имеющий одну шарнирно-неподвижную опору и, прикрепленный двумя тягами из упруго-пластического материала, нагружен переменной по значению силой F. Площадь поперечного сечения тяг A₁ и A₂, модуль упругости и предел текучести материала тяг

Е = 2*10⁵ МПа и _т = 240 МПа; допускаемое напряжение [] = _т/k, где коэффициент запаса прочности k = 1,5.

Требуется:

1.Найти в зависимости от силы F значения усилий в тягах;

2.Определить в процессе увеличения силы F ее значение, при котором напряжения в одной из тяг достигнет предела текучести.

3.Определить в процессе увеличения силы F ее предельное значение в предположении, что несущая способность обеих тяг исчерпана.

4.Найти значения грузоподъемности из расчета по методам допускаемых напряжений и разрушающих нагрузок при одном и том же коэффициенте запаса прочности. Cопоставить результаты и сделать вывод.

Исходные данные

Схема №8; А₁ = 4*10^-4 м²; А₂ = 1*10^-4 м²; а = 1,1 м; b = 1,3 м; с = 1,8 м;

Решение

1.Определим усилия в тягах в зависимости от силы F.

Составим уравнение совместности деформаций для заданной системы. Из условия подобия треугольников получим

– удлинение тяги 1;

– удлинение тяги 2;

Тогда

Составим уравнение равновесия моментов относительно точки В

∑М_В = 0 N₁* b - F*(a + b) + N₂ * c = 0

N₁*1,3 - F*(1,1 + 1,3) + N₂ *1,8 = 0

N₁*1,3 - F*2,4 + N₂*1,8 = 0

Решаем систему уравнений.

N₁ = 1,6*N₂

N₁*1,3 - F*2,4 + N₂*1,8 = 0

Результат решения системы уравнений: N₁ = 0,99F; N₂ = 0,618F.

Проверка

∑Y = 0 Y_B + N₂ – N₁ + F = 0

Y_B = N₁ – N₂ - F = 0,99F – 0,618F - F = - 0,628F

∑М_A = 0 Y_B* b - F*a + N₂ * (b + c) = 0

-0,628F*1,3 - F*1,1 + 0,618F*(1,3 + 1,8) = 0 1,916F – 1,916F = 0

Определим напряжения в тягах

2. Определим в процессе увеличения силы F ее значение, при котором напряжения в одной из тяг достигнет предела текучести.

Сначала напряжения достигнут предела текучести в тяге 2. Определим силу F_т при которой потечет тяга 2.

₂ = 6180F_т = _т

После того как потекут тяги 1 и 2 усилие в них определим по формулам

N_1т = _т * A₁ = 240*10⁶*4*10^-4 = 96000 Н;

N_2т = _т * A₂ = 240*10⁶*1*10^-4 = 24000 Н.

3.Определим в процессе увеличения силы F ее предельное значение в предположении, что несущая способность обеих тяг исчерпана при достижении в них предела текучести.

Предельную нагрузку определим в этом случае из уравнения равновесия моментов.

∑М_B = 0 N_1т* b - F*(a + b) + N_2т * c = 0

4.Найдем значения грузоподъемности из расчета по методам допускаемых напряжений и разрушающих нагрузок при одном и том же коэффициенте запаса прочности, сопоставим результаты и сделаем вывод.

Определим нагрузку по методу допускаемых напряжений.

Условие прочности имеет вид

откуда

Определим нагрузку по методу разрушающих нагрузок.

Несущая способность из расчета по методу допускаемых напряжений на 80% меньше, чем по методу разрушающих нагрузок.

Литература

1. Кузьмин Л.Ю., Гришунин В.Е., Кузнецов И.М. Сопротивление материалов. Методические указания к выполнению контрольной работы №1. М.: РОАТ, 2011.

2.Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов. – М.: Высшая школа, 2008.

3.Саргсян А.Е Сопротивление материалов, теория упругости и пластичности. – М.: Высшая школа, 2000.

Калякин П. В.

13

1210-ц/ПСс-1318

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ "ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА"

РОАТ