Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет путей сообщения

Предмет:

Сопротивление материалов

Файл:

сопромат / кольцов КР2

.docx

Скачиваний:

Добавлен:

09.06.2015

Размер:

244.14 Кб

Скачать

☆

Задача 4

Кручение валов

Стальной валик прямоугольного сечения испытывает кручение от приложенных к нему четырех моментов: М₁, М₂, М₃, М₄. Модуль упругости при сдвиге для материала валика G = 8*10⁴ МПа; допускаемое значение угла закручивания [] = 1,8 /м.

Требуется:

1.Построить эпюру крутящих моментов;

2.Определить размеры поперечного сечения валика из условий прочности и жесткости (принять h/b = 1,5);

3.Показать распределение касательных напряжений в поперечных сечениях;

4.Построить эпюру углов закручивания.

Исходные данные:

Схема №0; a = 0,11 м; с = 0,14 м; l = 0,1 м;

М₁ = 2100 Н*м; М₂ = 2400 Н*м; М₃ = 2000 Н*м; М₄ = 2100 Н*м;

[] = 80 МПа;

Решение

1.Построение эпюры крутящих моментов

Для определения крутящих моментов применяем метод сечений. На каждом участке составляем уравнение равновесия крутящих моментов отброшенной части и определяем М_кр.

I участок (АВ)

М_z = 0; М_кр1 - М₄ = 0; М_кр1 = М₄ = 2100 Н*м

II участок (ВС)

М_z = 0; М_кр2 - М₄ - М₃ = 0; М_кр2 = М₄ + М₃ = 2100 + 2000 = 4100 Н*м

III участок ( CD)

М_z = 0; М_кр3 - М₄ - М₃ - М₂ = 0;

М_кр3 = М₄ + М₃ + М₂ = 2100 + 2000 + 2400 = 6500 Н*м

IV участок (DE)

М_z = 0; М_кр4 - М₄ - М₃ - М₂ + М₁ = 0;

М_кр4 = М₄ + М₃ + М₂ - М₁ = 2100 + 2000 + 2200 - 2100 = 4400 Н*м

Строим эпюру крутящих моментов (рис.1).

2.Определение размеров поперечных сечений вала

Опасный участок СD, где М_{кр мах} = 6500 Н*м.

Находим размеры сечения вала из условия прочности.

Момент сопротивления прямоугольного сечения на кручение

W_кр = *h*b² = 0,231*1,5*b³ = 0,347*b³

Определим размер сечения b

Находим размеры сечения вала из условия жесткости.

Момент инерции прямоугольного сечения на кручение

I = *h*b³ = 0,196*1,5*b⁴ = 0,294*b⁴

Определим размер сечения b

Принимаем b = 0,0616 м; h = 1,5*b = 1,5*0,0616 = 0,0924 м.

3.Построение эпюр касательных напряжений в поперечных сечениях вала

Момент сопротивления прямоугольного сечения вала

W_= *h*b² = 0,231*0,0924*0,0616² = 8,1*10^-5 м³

Определим максимальные касательные напряжения в сечениях:

Сечение I-I

Сечение II-II

Сечение III-III

Сечение IV-IV

Строим эпюры касательных напряжений в сечениях (рис.1).

4.Построение эпюры углов закручивания сечений вала

Момент инерции прямоугольного сечения вала

Определим угол поворота сечений:

Строим эпюры углов закручивания сечений вала (рис.2).

Задача 5

Изгиб балок

Для схем балок требуется:

1.Определить опорные реакции и проверить их.

2.Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.

3.Показать приблизительный вид изогнутых осей балок.

4.По опасному сечению для балок подобрать поперечные сечения:

а) для схемы 1 – круг диаметром d при допускаемом сопротивлении

[] = 280 МПа;

б) для схемы 2 – двутавровое сечение при допускаемом напряжении

[] = 200 МПа.

Исходные данные:

с/а =1,9; Р/qa = 0,6; m/qa² = 0,9; а = 0,5 м; q = 12 кН/м.

Решение

Определим силы и размеры.

с = 1,9*а = 1,9*0,5 = 0,95 м; Р = 0,6*q*a = 0,6*12*0,5 = 3,6 кН;

m = 0,9*q*a² = 0,9*12*0,5² = 2,7 кН*м.

Схема I (.№ 4)

Определим размеры балки и величину нагрузок.

с = 1,6*а = 1,6*1,5 = 2,4 м; Р = 2*q*a = 2*12*1,5 = 36 кН;

m = 0,6*q*a² = 0,6*12*1,5² = 16,2 кН.

Определим опорные реакции.

F_x = 0; H_А = 0;

F_y = 0; V_А – P – q*а = 0; V_А = P + q*а = 3,6 + 12*0,5 = 9,6 кН

M_А = 0; M_А – m + P*(а+с) + q *а* (а/2+с) = 0;

M_А= m – P*(а + с) – q*а*(а/2+с) =

= 2,7 – 3,6*(0,5 + 0,95) – 12*0,5*(0,5/2 + 0,95) = - 9,72 кН*м

Определим Q и M_и

Участок СВ 0  z₁  0,5 м

F_y = 0 Q₁ –q*z₁– P = 0; Q₁ = q*z₁ + P

M₀=0;

z₁ = 0 Q₁= P = 3,6 кН; M_и1 = 0;

z₁ = 0,5 м Q₁=12*0,5+3,6 = 9,6 кН; M_и1= -12*0,5²/2 – 3,6*0,5 = - 3,3 кН*м

Участок АВ 0  z₂  0,95 м

F_y = 0 Q₂ – P – q*а = 0;

Q₂ = P + q*а = 3,6 + 12*0,5 = 9,6 кН

M₀= 0

M_и2 – m+P*(а+z₂)+q*а*(а/2+z₂) =0;

M_и2= m – P*(а +z₂) –q*а*(а/2+z₂);

z₂ = 0 M_и2 = 2,7 – 3,6*0,5 - 12*0,5²/2 = -0,6 кН*м;

z₂ = 0,95 м M_и2= 2,7 – 3,6*(0,5 + 0,95) – 12*0,5*(0,5/2+0,95) = -9,72 кН*м

Строим эпюры внутренних силовых факторов (рис.3).

Опасное сечение в заделке. Определим размеры поперечного сечения балки.

Условие прочности

Схема II (№0)

Определим реакции опор.

∑М_D = 0

∑М_В = 0

Проверка

∑Y = 0 Y_B + Y_D – q*3*a - P = 0

14,34 + 7,26 – 12*3*0,5 – 3,6 = 0 21,6 – 21,6 = 0

Определим изгибающие моменты и поперечные силы по участкам балки.

Участок АВ 0  z₁  0,5 м

∑Y = 0 - Q₁ – q*z₁ = 0 Q₁ = - q*z₁.

∑М₀ = 0 М_и1 + q*z₁²/2 = 0 М_и1 = - q*z₁²/2

z₁ = 0 Q₁ = 0; М_и1 = 0;

z₁ = 0,5 м Q₁ = - 12*0,5 =- 6 кН; М_и1=- 12*0,5²/2 =-1,5 кН*м

Участок ВС 0  z₂  1 м

∑Y = 0 - Q₂ – q*(a + z₂) +Y_B = 0

Q₂ = - q*(a + z₂) + Y_B;

∑М₀ = 0 М_и₂ + q*(а+z₂)²/2 -Y_B*z₂ = 0

M_и₂ = - q*(а+z₂)²/2 +Y_B*z₂

z₂ = 0 Q₂ = -12*0,5 + 14,34 = 8,34 кН; М_и₂ = -12*0,5²/2 = - 1,5 кН*м;

z₂ = 1 м Q₂= -12*(0,5+1)+14,34=-3,66 кН;

М_и2 = -12*(0,5+1)²/2+14,34*1= 0,84 кН*м.

Определим М_и_max на участке BC.

Q₂ = - q*(a + z_2max) + Y_B = 0; z_2max = Y_B/q – a = 14,34/12 – 0,5 = 0,695 м

Участок CD 0  z₃  1,9 м

∑Y=0 Q₃+ Y_D- Р = 0

Q₃ = - Y_D + Р = - 7,26 + 3,6 = -3,66 кН

∑M₀ = 0

z₃ = 0 М_и3 = -3,6*0,95 = - 3,42 кН*м;

z₃ = 1,9 м М_и3 = -3,6*(0,95 + 1,9) + 7,26*1,9 = 3,54 кН*м;

Участок DE 0  z₄  0,95 м

∑Y=0 Q₄ – Р = 0; Q₄ = P = 3,6 кН

∑М₀ = 0 М_и4 + Р*z₄ = 0; M_и4 = - Р*z₄

z₄ = 0 М_и4 = 0; z₄ = 0,95 м М_и4 = - 3,6*0,95 =-3,42 кН*м

Строим эпюры внутренних силовых факторов (рис.4).

Опасное сечение, где М_и =3,54 кН*м.

Условие прочности

Подходит двутавр №12 W_двут = 39,7 см³

Задача 6

Определение перемещений при изгибе

Для схемы II балки требуется по формуле Мора определить:

1.Вертикальное перемещение центра сечения, где приложен сосредоточенный момент.

2.Вертикальное перемещение центра тяжести сечения, где приложена сосредоточенная сила.

3.Угол поворота сечения, где приложен сосредоточенный момент.

4.Вычертить приближенный вид изогнутой оси балки.

Исходные данные:

а = 0,5 м; q = 12 кН/м; с = 0,95 м; Р = 3,6 кН; m = 2,7 кН*м;

Сечение балки – двутавр №10; W_x = 39,7 см³; I_x = 198 см⁴;

Е = 2,1*10¹¹ МПа.

Решение

Строим эпюру изгибающих моментов для балки №II, по расчетам в задаче 5. Определим геометрические характеристики сечения балки.

Жесткость на изгиб

E*I = 2,1*10¹¹*198*10^-8 = 415800 Н*м²

Для определения вертикального перемещения сечения Е приложим в точке Е единичную силу и построим эпюру изгибающих моментов в балке от единичной силы. Затем перемножим единичную эпюру и эпюру изгибающих моментов M_х. При перемножении эпюр эпюру моментов на участках BC и CD представляем в виде сложения нескольких эпюр. Стрелку квадратичной эпюры на участке ВС определим по формуле

Определим изгибающие моменты от действия единичной силы.

Вертикальное перемещение сечения E определим по формуле

Сечение Е перемещается вниз.

Для определения вертикального перемещения сечения С приложим в точке С единичную силу и построим эпюру изгибающих моментов в балке от единичной силы. Затем перемножим единичную эпюру и эпюру изгибающих моментов M_х.

Определим реакции опор от действия единичной силы.

М_D = 0; Y_B*(2a + 2c) – 1*2c = 0;

F_y = 0; Y_B + Y_D – 1 = 0; Y_D = 1 – Y_B = 1 – 0,655 = 0,345

Определим изгибающие моменты от действия единичной силы.

Вертикальное перемещение сечения С

Сечение С перемещается вниз.

Для определения угла поворота сечения С приложим в точке С единичный момент и построим от него эпюру изгибающих моментов. Затем перемножим единичную эпюру и эпюру изгибающих моментов .