Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет путей сообщения

Предмет:

Сопротивление материалов

Файл:

сопромат / титов КР2

.docx

Скачиваний:

Добавлен:

09.06.2015

Размер:

243.77 Кб

Скачать

☆

Задача 4

Кручение валов

Стальной валик круглого сечения испытывает кручение от приложенных к нему четырех моментов: М₁, М₂, М₃, М₄. Модуль упругости при сдвиге для материала валика G = 8*10⁴ МПа; допускаемое значение угла закручивания [] = 1,8 /м.

Требуется:

1.Построить эпюру крутящих моментов;

2.Определить размеры поперечного сечения валика из условий прочности и жесткости;

3.Показать распределение касательных напряжений в поперечных сечениях;

4.Построить эпюру углов закручивания.

Исходные данные:

Схема №1; a = 0,11 м; с = 0,14 м; l = 0,11 м;

М₁ = 2100 Н*м; М₂ = 2400 Н*м; М₃ = 2100 Н*м; М₄ = 2100 Н*м;

[] = 35 МПа;

Решение

1.Построение эпюры крутящих моментов

Для решения применяем метод сечений. На каждом участке составляем уравнение равновесия крутящих моментов отброшенной части и определяем крутящий момент в сечении М_кр.

I участок (АВ)

М_z = 0; М_кр1 – М₄ = 0; М_кр1 = М₄ = 2100 Н*м

II участок (ВС)

М_z = 0; М_кр2 – М₄ + М₃ = 0; М_кр2 = М₄ – М₃ = 2100 – 2100 = 0

III участок ( CD)

М_z = 0; М_кр3 – М₄ + М₃ + М₂= 0;

М_кр3 = М₄ – М₃ - М₂ = 2100 – 2100 - 2400 = -2400 Н*м

IV участок (DE)

М_z = 0; М_кр4 – М₄ + М₃ + М₂ + М₁ = 0;

М_кр4 = М₄ – М₃ - М₂ - М₁ = 2100 – 2100 - 2400 - 2100 = -4500 Н*м

Строим эпюру крутящих моментов (рис.1).

2.Определение размеров поперечных сечений вала

Опасный участок 4, где М_кр
мах = 4500 Н*м.

Находим диаметр вала из условия прочности

Находим диаметр из условия жесткости

Принимаем D = 0,0863 м.

3.Построение эпюр касательных напряжений  в поперечных сечениях вала

Момент сопротивления сечения вала

W_= 0,2*d³ = 0,2*0,0863³ = 1,285*10^-4 м³

Определим максимальные касательные напряжения в сечениях:

Сечение I-I

Сечение II-II

Сечение III-III

Сечение IV-IV

Строим эпюры касательных напряжений по сечениям (рис.1).

4.Определение углов закручивания сечений вала

Полярный момент инерции для круглого сечения

Жесткость на кручение

G*I_ = 8*10¹⁰*5,55*10^-6 = 443745 Н*м²

Определим угол поворота сечений:

Строим эпюры углов закручивания сечений вала (рис.2).

Задача 5

Изгиб балок

Для схем балок требуется:

1.Определить опорные реакции и проверить их.

2.Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.

3.Показать приблизительный вид изогнутых осей балок.

4.По опасному сечению для балок подобрать поперечные сечения:

а) для схемы 1 – круг диаметром d при допускаемом сопротивлении

[] = 280 МПа;

б) для схемы 2 – двутавровое сечение при допускаемом напряжении

[] = 200 МПа.

Исходные данные

Схема I – №4; схема II – №1;

с/а = 1,2; Р/qa = 0,6; m/qa² = 0,2; a = 0,5 м; q = 12 кН/м.

Решение

Схема I

Определим размеры балки и величину нагрузок.

с = 1,2*а = 1,2*0,5 = 0,6 м; Р = 0,6*q*a = 0,6*12*0,5 = 3,6 кН;

m = 0,2*q*a² = 0,2*12*0,5² = 0,6 кН.

Определим опорные реакции.

F_x = 0; H_А = 0;

F_y = 0; V_А – P – q*а = 0; V_А = P + q*а = 3,6 + 12*0,5 = 9,6 кН

M_А = 0; M_А – m + P*(а+с) + q *а* (а/2+с) = 0;

M_А= m–P*(а+с)–q*а*(а/2+с) = 0,6–3,6*(0,5+0,6)–12*0,5*(0,5/2+0,6) = - 8,46 кН*м

Определим Q и M_и

Участок СВ 0  z₁  0,5 м

F_y = 0 Q₁ –q*z₁– P = 0; Q₁ = q*z₁ + P

M₀=0;

z₁ = 0 Q₁= P = 3,6 кН; M_и1 = 0;

z₁ = 0,5 м Q₁=12*0,5+3,6 = 9,6 кН; M_и1= -12*0,5²/2 – 3,6*0,5 = - 3,3 кН*м

Участок АВ 0  z₂  0,6 м

F_y = 0 Q₂ – P – q*а = 0;

Q₂ = P + q*а = 3,6 + 12*0,5 = 9,6 кН

M₀= 0

M_и2 – m+P*(а+z₂)+q*а*(а/2+z₂) =0;

M_и2= m – P*(а +z₂) –q*а*(а/2+z₂);

z₂ = 0 M_и2 = 0,6 – 3,6*0,5 - 12*0,5²/2 = - 2,7 кН*м;

z₂ = 0,6 м M_и2= 0,6 – 3,6*(0,5 + 0,6) – 12*0,5*(0,5/2+0,6) = - 8,46 кН*м

Строим эпюры внутренних силовых факторов (рис.3). Опасное сечение в заделке. Определим размеры поперечного сечения балки.

Условие прочности

Рис.3. Схема балки №1 и эпюры Q и М_и

Схема II

Определим опорные реакции.

Z=0; H_D = 0;

Проверка

Y = 0; Y_B + Y_D – q* 2c - P = 0;

3,22 + 14,78 - 12*2*0,6 – 3,6 = 0; 18 – 18 = 0.

Определим поперечные силы и изгибающие моменты.

I участок (АВ) 0  z₁  0,5 м

Y = 0; Q₁ = 0; М_х0 = 0; М_и1 + m = 0;

M_и1 = - m = - 0,6 кН*м

II участок (BC) 0  z₂  1 м

Y = 0; - Q₂ + Y_B = 0; Q₂ = Y_B = 3,22 кН;

М_х0 = 0; М_и2 + m – Y_B*z₂ = 0;

М_и2 = - m + Y_B*z₂;

z₂ = 0; M_и2 = - 0,6 кН*м;

z₂ = 1 м; M_и2 = - 0,6 + 3,22*1 = 2,62 кН*м

III участок (CD) 0  z₃ 1,2 м

Y = 0; Q₃ - q*z₃+ Y_D – P = 0;

Q₃ = q*z₃ - Y_D + P;

Определим М_{3 экстр} на участке CD.

IV участок (DE) 0  z₄  0,6 м

Y = 0; Q₄ – P = 0; Q₄ = P = 3,6 кН*м;

z₄ = 0; М_и4 = 0;

Строим эпюры М_х и Q_у. Строим изогнутую ось балки (рис.4).

В опасном сечении М_max = 3,05 кН*м. Определим требуемый момент сопротивления сечения балки.

Подходит двутавр №10 W_x =39,7 см³(наименьший по стандарту).

Задача 6

Определение перемещений при изгибе

Для схемы II балки требуется по формуле Мора определить:

1.Вертикальное перемещение центра сечения, где приложен сосредоточенный момент.

2.Вертикальное перемещение центра тяжести сечения, где приложена сосредоточенная сила.

3.Угол поворота сечения, где приложен сосредоточенный момент.

4.Вычертить приближенный вид изогнутой оси балки.

Исходные данные:

а = 0,5 м; q = 12 кН/м; с = 0,6 м; Р = 3,6 кН; m = 0,6 кН*м;

Сечение балки – двутавр №10; W_x = 39,7 см³; I_x = 198 см⁴;

Е = 2,1*10¹¹ МПа.

Решение

Строим эпюру изгибающих моментов для балки №II, используя расчетам в задаче 5. Определим геометрические характеристики сечения балки.

Жесткость на изгиб

E*I = 2,1*10¹¹*198*10^-8 = 415800 Н*м²

Для определения вертикального перемещения сечения А приложим в точке А единичную силу и построим эпюру изгибающих моментов в балке от единичной силы. Затем перемножим единичную эпюру и эпюру изгибающих моментов M_х . При перемножении эпюр эпюру моментов на участках BC и CD представляем в виде сложения нескольких эпюр. Стрелку квадратичной эпюры определим по формуле

Определим изгибающие моменты от действия единичной силы.

Вертикальное перемещение сечения А определим по формуле

Сечение А перемещается вверх.

Для определения вертикального перемещения сечения Е приложим в точке Е единичную силу и построим эпюру изгибающих моментов в балке от единичной силы. Затем перемножим единичную эпюру и эпюру изгибающих моментов M_х.

Определим изгибающие моменты от действия единичной силы.

Вертикальное перемещение сечения Е

Сечение Е перемещается вверх.

Для определения угла поворота сечения А приложим в точке А единичный момент и построим от него эпюру изгибающих моментов. Затем перемножим единичную эпюру и эпюру изгибающих моментов .