сопромат / ТИТОВ КР1

Задача №1

Геометрические характеристики поперечных сечений

Поперечное сечение бруса состоит из двух частей, соединенных в одно целое.

Требуется:

1.Вычертить схему сечения в масштабе 1:2, на которой указать положение всех осей и все размеры.

2.Найти общую площадь сечения.

3.Определить положение центра тяжести всего сечения.

4.Определить осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно осей, проходящих через центр тяжести сечения.

5.Найти положение главных центральных осей инерции, значения главных центральных моментов инерции, главных радиусов инерции и проверить правильность вычисления моментов инерции.

Исходные данные

Схема №1

Равнобокий уголок (ГОСТ 8509-72) - 80 х 80 х 8;

Полоса - 180 х 10.

Решение

Определим характеристики элементов сечения.

1. Полоса

Площадь сечения - F₁ = 18 * 1 = 18 см⁴;

Моменты инерции:

Сечение полосы показано на рис.1.

2. Равнобокий уголок 80 х 80 х 8

Площадь сечения - F₂ = 12,3 см²;

Моменты инерции:

I_x2 = I_y2 = 73,4 см⁴; I_max = I_x0 = 116 см⁴; I_min = I_y0 = 30,3 см⁴;

Сечение уголка показано на рис.2.

1. Площадь сечения

F = F₁ + F₂ = 18 + 12,3 = 30,3 см⁴

2.Опредлим положение центра тяжести сечения

3.Определим центральные осевые и центробежный моменты инерции сечения.

Центральные осевые моменты инерции

Центробежный момент инерции

4.Определим положение главных центральных осей инерции

5.Определим главные центральные моменты инерции

Проверка

1-я I_max + I_min = I_Xc + I_Yc 930,4 + 90,8 = 890,3 + 131 1021,2  1021,3

2-я I_max > I_Xc > I_Yc > I_min 930,4 > 890,3 > 131 > 90,8

Главные радиусы инерции

Задача №2

Растяжение и сжатие прямого бруса

Стальной стержень (Е = 2*10⁵ МПа), один конец которого жестко защемлен, другой свободен, находится под действием продольных сил Р и распределенной нагрузки t = 20 кН/м. Отдельные участки стержня имеют различную площадь поперечного сечения F или 2F

Требуется:

1.Сделать схематический чертеж бруса по заданным размерам, соблюдая масштаб длин по вертикали.

2. Вычислить значения продольной силы N и нормального напряжения , построить их эпюры.

3. Определить перемещение сечения I - I.

Исходные данные

Схема – №1; F = 2,1 см²; a = 0,11 м; b = 0,14 м; c = 0,11 м; Р = 24 кН.

Решение

Определим N и .

Участок АВ 0  z₁  0,11 м

F_z = 0; N₁ + Р – t*z₁ = 0; N₁ = - Р + t*z₁; ₁ = N₁/2F;

z₁ = 0 N₁ = - 24 кН

z₁ = 0,11 м N₁ = - 24 + 20*0,11 = -21,8 кН

Участок ВС 0,11 м  z₂  0,25 м

F_z = 0; N₂ + Р – t*с = 0; N₂ = - P + t*с = -24 + 20*0,11 = -21,8 кН;

Участок СD 0,25 м  z₃  0,36 м

F_z = 0; N₃ + Р + Р - t*с = 0;

N₃ = - P - P + t*с = -24 – 24 + 20*0,11 = -45,8 кН;

Строим эпюры N и _z (рис.4).

Определим перемещение сеч. I - I.

Перемещение сечения I - I это изменение длины участков стержня ВС и CD. Изменение длины участка ВС и CD определим по формуле

Выражение под интегралом равно площади эпюры N на участках BC и CD. Перемещение сечения I - I определим по формуле

Задача 3

Статически неопределимые задачи при растяжении и сжатии

Абсолютно жесткий брус, имеющий одну шарнирно-неподвижную опору и, прикрепленный двумя тягами из упруго-пластического материала, нагружен переменной по значению силой F. Площадь поперечного сечения тяг A₁ и A₂, модуль упругости и предел текучести материала тяг

Е = 2*10⁵ МПа и _т = 240 МПа; допускаемое напряжение [] = _т/k, где коэффициент запаса прочности k = 1,5.

Требуется:

1.Найти в зависимости от силы F значения усилий в тягах;

2.Определить в процессе увеличения силы F ее значение, при котором напряжения в одной из тяг достигнет предела текучести.

3.Определить в процессе увеличения силы F ее предельное значение в предположении, что несущая способность обеих тяг исчерпана.

4.Найти значения грузоподъемности из расчета по методам допускаемых напряжений и разрушающих нагрузок при одном и том же коэффициенте запаса прочности. Cопоставить результаты и сделать вывод.

Исходные данные

Схема №2; А₁ = 2*10^-4 м²; А₂ = 4*10^-4 м²; а = 1,4 м; b = 1,1 м; с = 1,1 м;

Решение

1.Определим усилия в тягах в зависимости от силы F.

Составим уравнение совместности деформаций для заданной системы.

Из условия подобия треугольников получим

– удлинение тяги 1;

– удлинение тяги 2;

Составим уравнение равновесия моментов относительно точки А

∑М_А = 0 N₁*a + N₂ * (a + b) – F * (a + b + с) = 0

N₁*1,4 + N₂ * (1,4 +1,1) – F * (1,4 + 1,1 + 1,1) = 0

N₁*1,4 + N₂ * 2,5 – F * 3,6 = 0

Решаем систему уравнений.

N₁ = 0,28*N₂

N₁*1,4 + N₂*2,5 – F*3,6 = 0

Результат решения системы уравнений: N₁ = 0,348F; N₂ = 1,245F.

Определим реакцию опоры А – Y_А.

F_Y = 0; N₁ + N₂ – F + Y_А = 0;

Y_А = - N₁ – N₂ + F = - 0,348F – 1,245F + F = -0,593F

Проверка

М_С = 0; Y_А*(a + b) + N₁*b + F*с = 0;

-0,593F*(1,4 + 1,1) + 0,348F*1,1 + F*1,1= 0; -1,4825F + 1,4828F  0

Определим напряжения в тягах

2. Определим в процессе увеличения силы F ее значение, при котором напряжения в одной из тяг достигнет предела текучести.

Первой потечет тяга 2. Определим силу F в случае когда потечет тяга 2.

₂ = 3112F_т = _т

После того как потекут тяги 1 и 2 усилие в них определим по формулам

N_1т = _т * A₁ = 240*10⁶*2*10^-4 = 48000 Н;

N_2т = _т * A₂ = 240*10⁶*4*10^-4 = 96000 Н.

3.Определим в процессе увеличения силы F ее предельное значение в предположении, что несущая способность обеих тяг исчерпана.

Предельную нагрузку определим в этом случае из уравнения равновесия моментов.

∑М_А = 0 N_1т*1,4 + N_2т * (1,4 + 1,1) – F * (1,4 + 1,1 + 1,1) = 0

4.Найдем значения грузоподъемности из расчета по методам допускаемых напряжений и разрушающих нагрузок при одном и том же коэффициенте запаса прочности. сопоставить результаты и сделать вывод.

Определим нагрузку по методу допускаемых напряжений.

Условие прочности имеет вид

откуда

Определим нагрузку по методу разрушающих нагрузок.

Сравнивая результаты расчета по двум методам расчета определяем, что несущая способность из расчета по методу допускаемых напряжений на 10,6% меньше, чем по методу разрушающих нагрузок.

Литература

1. Кузьмин Л.Ю., Гришунин В.Е., Кузнецов И.М. Сопротивление материалов. Методические указания к выполнению контрольной работы №1. М.: РОАТ, 2011.

2.Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов. – М.: Высшая школа, 2008.

3.Саргсян А.Е Сопротивление материалов, теория упругости и пластичности. – М.: Высшая школа, 2000.

Титов А. В.

11

2

1210-пПСс-0141

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ "СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ"

РОАТ