сопромат / Кольцов КР1

2

Задача №1

Геометрические характеристики поперечных сечений

Поперечное сечение бруса состоит из двух частей, соединенных в одно целое.

Требуется:

1.Вычертить схему сечения в масштабе 1:2, на которой указать положение всех осей и все размеры.

2.Найти общую площадь сечения.

3.Определить положение центра тяжести всего сечения.

4.Определить осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно осей, проходящих через центр тяжести сечения.

5.Найти положение главных центральных осей инерции, значения главных центральных моментов инерции, главных радиусов инерции и проверить правильность вычисления моментов инерции.

Исходные данные

Схема №0; Швеллер - №16а (ГОСТ 8240-72);

Равнобокий уголок – 80х80х8.

Решение

Определим характеристики элементов сечения.

1. Швеллер №16а

Площадь сечения F₁ = 19,5 см⁴;

Собственные моменты инерции:

Сечение швеллера показано на рис.1.

2.Уголок 80х80х8

Площадь сечения F₂ = 12,3 см²;

Собственные моменты инерции:

I_x2 = I_y2 = 73,4 см⁴;

Сечение уголка показано на рис.2.

1. Общая площадь сечения

F = F₁ + F₂ = 19,5 + 12,3 = 31,8 см⁴

2.Определим положение центра тяжести сечения

3.Определим центральные осевые и центробежный моменты инерции сечения (относительно осей, проходящих через центр тяжести)

Центральные осевые моменты инерции

Центробежный момент инерции

4.Определим положение главных центральных осей инерции

5.Определим главные центральные моменты инерции

Проверка

1-я I_max + I_min = I_Xc + I_Yc 1764,9 + 184,1 =257,1 + 1691,9 1949 = 1949

2-я I_max > I_Yc > I_Xc > I_min 1764,9 > 1691,9 > 257,1 > 184,1

Главные радиусы инерции

Задача №2

Растяжение и сжатие прямого бруса

Стальной стержень (Е = 2*10⁵ МПа), один конец которого жестко защемлен, другой свободен, находится под действием продольных сил Р и распределенной нагрузки t = 20 кН/м. Отдельные участки стержня имеют различную площадь поперечного сечения F или 2F

Требуется:

1.Сделать схематический чертеж бруса по заданным размерам, соблюдая масштаб длин по вертикали.

2. Вычислить значения продольной силы N и нормального напряжения , построить их эпюры.

3. Определить перемещение сечения I - I.

Исходные данные

Схема – №0; F = 2,1 см²; a = 0,11 м; b = 0,14 м; c = 0,1 м; Р = 24 кН.

Решение

Определим N и .

Участок АВ 0  z₁  0,11 м

F_z = 0; N₁ - Р = 0; N₁ = Р = 24 кН.

Участок ВС 0,11 м  z₂  0,24 м

F_z = 0; N₂ - Р - Р = 0; N₂ = P + Р = 24 + 24 = 48 кН; _z = N₂/2F;

Участок СD 0,24 м  z₃  0,34 м

F_z = 0; N₃ - Р - Р + t*(z₃ - 0,24) = 0;

N₃ = P + P - t*(z₃ - 0,24); _z = N₃/2F;

z₃ = 0,28 м N₃ = 24 + 24 = 48 кН

z₃ = 0,34 м N₃ = 24 + 24 - 20*(0,34 – 0,24) = 46 кН

Строим эпюры N и  (рис.4).

Определим перемещение сеч. I - I.

Перемещение сечения I - I это изменение длины участка стержня CD, между заделкой и сечением.

Изменение длины участка CD определим по формуле

Выражение под интегралом равно площади эпюры N на участке CD. Перемещение сечения I - I определим по формуле

Задача 3

Статически неопределимые задачи при растяжении и сжатии

Абсолютно жесткий брус, имеющий одну шарнирно-неподвижную опору и, прикрепленный двумя тягами из упруго-пластического материала, нагружен переменной по значению силой F. Площадь поперечного сечения тяг A₁ и A₂, модуль упругости и предел текучести материала тяг

Е = 2*10⁵ МПа и _т = 240 МПа; допускаемое напряжение [] = _т/k, где коэффициент запаса прочности k = 1,5.

Требуется:

1.Найти в зависимости от силы F значения усилий в тягах;

2.Определить в процессе увеличения силы F ее значение, при котором напряжения в одной из тяг достигнет предела текучести.

3.Определить в процессе увеличения силы F ее предельное значение в предположении, что несущая способность обеих тяг исчерпана.

4.Найти значения грузоподъемности из расчета по методам допускаемых напряжений и разрушающих нагрузок при одном и том же коэффициенте запаса прочности. Cопоставить результаты и сделать вывод.

Исходные данные

Схема №0; А₁ = 2*10^-4 м²; А₂ = 4*10^-4 м²; а = 1,4 м; b = 1,1 м; с = 1,0 м;

Решение

1.Определим усилия в тягах в зависимости от силы F.

Составим уравнение совместности деформаций для заданной системы.

Из условия подобия треугольников получим

– удлинение тяги 1; – удлинение тяги 2;

Тогда

Составим уравнение равновесия моментов относительно точки C

∑М_C = 0 N₁*(a + b + c) + N₂ * c – F * (b + c) = 0

N₁*(1,4 + 1,1 + 1) + N₂ * 1 – F * (1,1 + 1) = 0

N₁*3,5 + N₂*1 – F*2,1 = 0

Решаем систему уравнений.

N₂ = 2,1*N₁

N₁*3,5 + N₂*1 – F*2,1 = 0

Результат решения системы уравнений: N₁ = 0,375F; N₂ = 0,787F.

Определим реакцию опоры С - Y_C.

F_Y = 0; N₁ + N₂ – F + Y_C = 0;

Y_C = - N₁ – N₂ + F = - 0,375F – 0,787F + F = -0,162F

Проверка

М_А = 0; Y_C*(a + b + c) – F*a + N₂*(a + b) = 0;

-0,162F*(1,4 + 1,1 + 1) – F*1,4 + 0,787F*(1,4 + 1,1) = 0; 1,967F – 1,967F = 0

Определим напряжения в тягах

2. Определим в процессе увеличения силы F ее значение, при котором напряжения в одной из тяг достигнет предела текучести.

Первой потечет тяга 2. Определим силу F при которой потечет тяга 2.

₂ = 1967,5F_т = _т

После того как потекут обе тяги 1 и 2 усилие в них определим по формулам

N_1т = _т * A₁ = 240*10⁶*2*10^-4 = 48000 Н;

N_2т = _т * A₂ = 240*10⁶*4*10^-4 = 96000 Н.

3.Определим в процессе увеличения силы F ее предельное значение в предположении, что несущая способность обеих тяг исчерпана.

Предельную нагрузку определим в этом случае из уравнения равновесия моментов.

∑М_С = 0 N_1т*(1,4 + 1,1 + 1) + N_2т*1 – F_пр*(1,1 + 1) = 0

N_1т*3,5 + N_2т*1 – F_пр*2,1 = 0

4.Найдем значения грузоподъемности из расчета по методам допускаемых напряжений и разрушающих нагрузок при одном и том же коэффициенте запаса прочности. Сравним результаты.

Определим нагрузку по методу допускаемых напряжений.

Условие прочности имеет вид

откуда

Определим нагрузку по методу разрушающих нагрузок.

Сравнивая результаты расчета, определяем, что несущая способность системы из расчета по методу допускаемых напряжений на 3% меньше, чем по методу разрушающих нагрузок.

Литература

1.Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов. – М.: Высшая школа, 2008.

1.Саргсян А.Е Сопротивление материалов, теория упругости и пластичности. – М.: Высшая школа, 2000.

2.Саргсян А.Е. и др. Сопротивление материалов. Задания на контрольные работы. М.: РГОТУПС, 2002.

Кольцов С. И.

11

1210-пПСс-0140

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ "СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ"

РОАТ