твір

=

Очевидно, що = тоді і лише тоді, коли ) = 0. Тобто перевірка збіжності послідовності () точок простору ) до точки зводиться до перевірки того факту, що числова послідовність )) є нескінченно малою.

Теорема 1. Якщо послідовність точок простору ) має границю, то вона єдина.

Доведення. Нехай у просторі ) існує послідовність (), для якої = і = , причому .

Оскільки = , то для будь якого , зокрема для , існує номер такий, що всіх виконується нерівність

.

А оскільки =, то для , існує номер такий, що всіх виконується нерівність

.

Нехай . Тоді для всіх виконуються то обидві нерівності. А тому, взявши конкретне . Маємо:

.

Одержане протиріччя спростовує припущення, тобто не існує у просторі ) збіжної послідовності, яка б мала більше однієї границі.

Нехай маємо не порожню множину F точок простору ), і нехай послідовність точок цієї множини. Якщо ця послідовність збігається, то належність границі кожної такої послідовності множині F є характеристичною властивістю так званих замкнених множин.

Означення. Множина F точок простору ) називається замкненою, якщо для будь якої збіжної послідовності точок множини F .

Для прикладу, будь яка скінченна множина точок простору ) є замкненою множиною, будь яка область в об’єднанні із своєю межею є замкненою.

Нехай маємо послідовність () = (()) простору . Очевидно, що вона породжує дві числові послідовності , , які природ називати координатними послідовностями. Аналогічно, якщо () = (()) послідовність точок простору , то вона породжує три координатні послідовності Зв’язок між збіжністю послідовності () і координатних послідовностей розкривається в наступній теоремі.

Теорема . Послідовність () = (()) точок простору (() = (()) послідовність точок простору збігається тоді і тільки тоді, коли збігаються координатні послідовності , (, причому

( ,

( ,

Доведення. Проведемо для послідовності точок простору .

Необхідність. Нехай послідовність (() = (()) збігається причому

( = ().

Доведемо, що = = =

Якщо ( , то для існує номер такий, що всіх виконується нерівність

.

А оскільки

׀

для і = 1,2,3, то ׀ . А це й означає, що

=

для і = 1,2,3.

Достатність. Нехай послідовність (() = (()) координатні послідовності збігаються, причому = = = = Тоді для , зокрема для , існує номер такий, що всіх виконується нерівність ׀ . Для існує номер такий, що всіх виконується нерівність ׀ . І, нарешті, для існує номер такий, що всіх виконується нерівність ׀ . Нехай . Тоді для виконується нерівність ׀ і для кожного і = 1,2,3.

Отже, для всіх

((), ()) =

= = .

А це й означає, що ( = ().

В аналізі числових функцій ряд властивостей неперервних функцій істотно залежить від структури області, на якій вони визначені. Маємо на увазі властивості неперервних функцій, визначених на відрізку. Звичайно ми можемо означити відрізок і в . Однак для функцій двох і трьох змінних відрізок аж ніяк не є найбільш популярною областю визначення. Бажано виділити достатньо широкий клас множин, на яких неперервні функції мають ті ж властивості, що й на числових відрізків.

У зв’язку з цим звернемо увагу на одну теорему, яка досить часто використовувалась в аналізі числових функцій, а саме на теорему Больцано Вейєрштрасса, у якій стверджується, що з кожної обмеженої числової послідовності можна виділити збіжну підпослідовність.

Якраз властивість, яка полягає у тому, що з кожної послідовності точок множини можна виділити підпослідовність, збіжну до точки цієї множини, і є характеристичною властивістю множин, роль яких в аналізі функцій двох і трьох змінних схожа з роллю відрізків в аналізі числових функцій однієї змінної.

Теорема. (Больцано Вейєрштрасса). З кожної обмеженої послідовності ( простору ) можна виділити збіжну підпослідовність.

Доведення. Нехай послідовність () = (()) точок простору обмежена. Це означає, що існує прямокутник

такий, що для всіх () , причому для всіх [], []. Згідно теореми Больцано Вейєрштрасса для числових послідовностей ), границя якої нехай рівняється . За підпослідовністю ) побудуємо піпослідовність ) послідовності ), яка звичайно обмежена. А тому з неї можна виділити збіжну підпослідовність ), границя якої нехай ). Тоді послідовність ) як підпослідовність збіжної послідовності має границю ). Отож маємо підпослідовність , ) таку, що

, .

В силу теореми підпослідовність , ) послідовності () збігається.

Означення. Множина К точок простору ) називається компактною множиною, якщо з кожної послідовності точок множини К можна виділити підпослідовність, яка збігається до точки цієї множини.

Теорема. Множина К точок простору ) є компактною тоді і лише тоді, коли вона обмежена і замкнена.

В аналізі числових функцій однієї змінної важливу роль відіграє властивість фундаментальності послідовності, оскільки є необхідною і достатньою умовою збіжності. А оскільки при означенні фундаментальності ,, послідовність () фундаментальна := ҆ ҆ фігурує тільки відстань, то його множин перенести в довільний метричний простір, зокрема в ) .

Означення. Послідовність () точок простору ) називається фундаментальною (послідовністю Коші), якщо для будь якого існує номер такий, що всіх і для будь якого натуральноговиконується нерівність .

Теорема 5. Послідовність () = (()) точок простору () = (()) простору є фундаментальною тоді і лише тоді, коли фундаментальні координатні послідовності , (.

Доведення.

Необхідність. Нехай послідовність () = (()) фундаментальна. Тоді в силу означення для будь якого існує номер такий, що всіх і для будь якого натуральноговиконується нерівність

А оскільки для будь яких

׀׀ і ׀׀,

то маємо, що для будь якого маємо номер такий, що для всіх і для будь якого натуральноговиконується нерівність ׀׀, а це означає, що послідовність (того ж виконується нерівність ׀׀ для всіх і для будь якого натурального, що свідчить про фундаментальність послідовності .

Достатність. Нехай послідовність , фундаментальні, тобто для будь якого , зокрема для , існує номер такий, що всіх і для будь якого натуральноговиконується нерівність ׀׀ і номер такий, що для всіх і будь якого натуральноговиконується нерівність ׀׀. Нехай . Тоді для будь якого і для будь якого натуральноговиконується обидві нерівності. Отже, для всіх і для будь якого натурального

= .

А це й означає, що послідовність () фундаментальна.

Теорема. (критерій Коші). Послідовність точок простору ) збіжна тоді і тільки тоді, коли вона фундаментальна.

Доведення.

Необхідність. Нехай послідовність () збіжна і нехай ( бто для будь якого , зокрема для , існує номер такий, що всіх виконується нерівність будь якого натурального , маємо, що і . А тому для всіх і для будь якого натурального виконується нерівність

.

Достатність. Нехай послідовність () фундаментальна. Тоді згідно з теоремою 5 фундаментальними, а отже, збіжними, будуть координатні послідовності. Останнє гарантує збіжність послідовності ().

Метричні простори, у яких кожна фундаментальна послідовність є збіжною називаються повними. Таким чином простори повні (без дірок).

29