3. Формула полной вероятности

Рассмотрим теперь случай, когда событие Аможет произойти в сочетании с одним изmпопарно несовместных событийодно из которых обязательно происходит. Таким образом, объединение этих событий совпадает со всем пространством элементарных исходов:

В рассмотренном выше примере с дальтонизмом имеются два события (женщина) и(мужчина). Очевидно, что - дальтоник всегда является либо женщиной, либомужчиной. Однако, известно, что вероятность дальтонизма у женщин существенно ниже вероятности дальтонизма у мужчины.

Поскольку объединение , совпадает со всем пространством элементарных исходов, а событиеАпроисходит с одним изH_j, то имеет место очевидное соотношение:

Ввиду попарной несовместности событий правило сложения вероятностей дает:

Применяя теперь к каждому слагаемому формулу умножения вероятностей, получим формулу полной вероятности:

Краткая запись формулы полной вероятности имеет следующий вид:

Применим формулу полной вероятности для решения следующейих задач.

Задача 1. В урне находится три белых и четыре черных шара, отличающихся только цветом. Из урны наугад вынимается один шар и, не глядя, прячется. После этого из урны берется второй шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Решение. Обозначим через H₁ событие, состоящее в том, что первый шар был белым, через H₂ - событие, состоящее в том, что первый шар был черным, через А обозначим событие, состоящее втом, что второй шар белый.

Используя классический подход к определению вероятностей, легко вычисляются следующие значения:

,

Теперь искомая вероятность события Авычисляется по формуле полной вероятности:

Задача 2. В монтажном цехе к устройству присоединяют электродвигатели. Электродвигатели поставляются тремя заводами. На складе имеются электродвигатели этих трёх заводов в количестве 19, 6 и 11 штук соответственно. Электродвигатели каждого из заводов могут работать безотказно до конца гарантийного срока соответственно с вероятностями 0,85; 0,76; 0,71. Рабочий берёт наугад двигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятность безотказной работы электродвигателя до конца гарантийного срока.

Решение. Обозначим через Асобытие, состоящее в том, что электродвигатель проработает безотказно до конца гарантийного срока,- рабочий взял двигатель первого завода,- рабочий взял двигатель второго завода,- рабочий взял двигатель третьего завода. Теперь могут быть вычислены значения следующих вероятностей:

Условные вероятности события А даны в условии задачи:

Вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:

Подставляя в эту формулу соответствующие числовые значения, получаем искомый результат:

.

4. Формула Байеса

Вернем к рассмотренной в предыдущем разделе задаче об электромоторах. Пусть смонтированное выбранным случайно электродвигателем устройство проработало до конца гарантийного срока безотказно. Какова вероятность того, что электродвигатель был изготовлен первым, вторым или третьим заводом.

Аналогично в задаче о шарах может быть интересно определить вероятность того, что первый шар (который, не глядя, спрятали) был белый или черный при условии, что второй шар оказался белым (или черным).

В примере с дальтонизмом может быть поставлена задача определения вероятности того, что наугад выбранный человек - дальтоник окажется женщиной (наугад может выбираться история болезни одного из дальтоников).

Все заданные выше вопросы приводят к рассмотрению общей задач увычисления вероятности события (гипотезы) H_jпри условии, что событиеАуже произошло, т.е. вычисления вероятностейP(H_j/A).

Более точная формулировка этой общей задачи выглядит следующим образом:

Имеется полная группа несовместных событий (гипотез) . Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно. Они называются априорными (доопытными) вероятностями. Произведен опыт, в результате которого наблюдено появление некоторого событияА. Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события? Иными словами необходимо найти вероятности, которые называются апостериорными (послеопытными) вероятностями.

Для нахождения условной вероятности воспользуемся теоремой умножения вероятностей, которая очевидно может быть записана и иным образом:. Отсюда получаем. И далее.

Выражая Р(А)с помощью формулы полной вероятности, окончательно будем иметь:.

Эта формула называется формулой Байеса или формулой гипотез.

Формула Байеса является одним из важнейших результатов теории вероятностей. Эта формула служит основанием для науки, занимающейся выработкой оптимальных решений в ситуациях неопределенности, когда имеют место какие-то случайные факторы. Эта наука называется теорией статистических решений, она имеет большое прикладное значение в самых разнообразных практических областях.

Вернемся теперь к задаче об электродвигателях. Пусть смонтированное выбранным случайно электродвигателем устройство проработало до конца гарантийного срока безотказно. Какова вероятность того, что электродвигатель был изготовлен первым, вторым или третьим заводом.

Для этого воспользуемся формулой Байеса и известными значениями вероятностей:

;

В результате будем иметь следующие апостериорные вероятности:

Рассмотрим еще одно применение формулы Байеса.

Задача.Некоторые приборы собираются либо из высококачественных деталей, либо из деталей обычного качества, причем приборов первого вида 40%, а второго вида соответственно 60%. В первом случае надежность прибора (вероятность безотказной работы) за год равна 0,90; во втором случае его надежность 0,60. Прибор в течение года вышел из строя. Надо принять решение, из каких деталей был собран прибор.

D