2. Условные вероятности

Допустим, что из общего числа Nчеловек страдает дальтонизмомN_Ачеловек. ВсеNчеловек делятся наN₁ женщин иN₂мужчин,N₁ + N₂ = N. Случайное событиеH₁ состоит в том, что наугад выбранный человек является женщиной, а событие H₂ состоит в том, что наугад выбранный человек является мужчиной. Случайное событиеАсостоит в том, что наугад выбранный человек (мужчина или женщина) страдает дальтонизмом

Для вероятностей (классических) рассмотренных событий имеют место следующие соотношения:

Будем интересоваться дальтонизмом не всех людей, а отдельно дальтонизмом женщин и мужчин. Найдём вероятность того, что наугад выбранная женщина страдает дальтонизмом; очевидно, эта вероятность равна отношению числа женщин, страдающих дальтонизмом, пусть это будет , к общему числу женщин. Для такой вероятности может быть применен символ P(A/H₁), который читается как: "вероятность событияА(дальтонизм) при условии, что произошло событиеH₁(выбрана женщина)". Таким образом, могут быть записаны следующие соотношения:

Здесь выражение Р(АН₁)обозначена как раз вероятность произведения (одновременного наступления) событийАиH₁(случайно выбранная женщина страдает дальтонизмом).

Заметим, что выражение для условной вероятности было получено в предположении применимости классического определения вероятностей (когда все элементарные события равновероятны). Тем не менее, в общем случае условная вероятность определяется аналогичным образом.

Пусть Н- некоторое случайное событие, имеющее ненулевую вероятность, иА- произвольное случайное событие. Условной вероятностью событияАпри условииН(при справедливости гипотезыН) называется величина, определённая соотношением:, гдеАНпредставляет собой событие одновременного наступления событийАиН.

Иногда слова "при условии Н" заменяют словами "если известно, что Н произошло". Условные вероятности остаются неопределёнными, когда гипотеза Н имеет нулевую вероятность.

В противоположность условным вероятностям для большей ясности может использоваться термин безусловная вероятность.

Теоретически, переход от безусловных вероятночстей к условным приводит к замене пространства элементарных исходов Ω. на пространство элементарных исходов Н, являющееся частью исходного пространства Ω. Но всякая часть исходного пространства элементарных исходов является его подмножеством, а значит, по определению, случайным событием, которое мы называемН. Отсюда следует, что все общие теоремы о вероятностях справедливы также и для условных вероятностей. Например, условная вероятность событияпротивороложного событийю А записываются в виде:

Формула , выражающая значение условной вероятности событияА, если известно, что событиеНпроизошло, может быть представлена в следующем виде:

.

Полученную формулу называют теоремой умножения вероятностей для так называемых зависимых событий АиН. СобытияАиНмогут быть независимыми,если появление одного из них никак не влияет на вероятность появления другого, то есть условная вероятность событияАв предположении, чтоНпроизошло, совершенно такая же, как и без этого предположения:

Р(А/Н) = Р(А).

Для независимых событий формула умножения вероятностей имеет вид: .

Таким образом для независимых событий вероятность их произведения равна произведению вероятностей каждого из этих событий.