1. Аксиоматическое построение теории вероятностей

Любая абстрактная математическая теория оперирует некоторыми простейшими элементарными понятиями, никак не определенными: предполагается, что они даны и всем понятны хотя бы на интуитивном уровне. При аксиоматическом подходе к построению теории вероятностей, развитом А.Н. Колмогоровым, вероятности элементарных исходов считаются заданными, и эти вероятности - понятия той же природы, что точки и расстояния в геометрии, массы в механике и т.д. Математическая теория вероятностей не нуждается ни в каких предположениях о действительном численном значении элементарных вероятностей или о способе их измерения на практике, совершенно так же как теоремы геометрии или постулаты теоретической физики.

При этом в основу теории вероятностей как математической науки легли определеные предпосылки, являющиеся обобщением многовекового человеческого опыта. Дальнейшее же ее развитие должно строиться посредством дедукции из этих основных положений без обращения к наглядным представлениям, к выводам, «согласно здравому смыслу». Иными словами, теория вероятностей должна строиться из аксиом так же, как любая сформировавшаяся математическая наука - геометрия, теоретическая механика, абстрактная теория групп и т. д.

В современной математике принято аксиомами называть те предложения, которые принимаются за истинные и в пределах данной теории не доказываются. Все остальные положения этой теории должны выводиться чисто логическим путем из принятых аксиом. Формулировка аксиом, т. е. тех фундаментальных положений, на "базе которых строится обширная теория, представляет собой не начальную стадию развития математической науки, а является результатом длительного накопления фактов и логического анализа полученных результатов с целью выявления действительно основных первичных фактов. Именно так складывались аксиомы геометрии, первоначальное знакомство с которыми дается в курсе элементарной математики. Подобный же путь прошла и теория вероятностей. Аксиоматическое построение основ теории вероятностей основывается на свойствах вероятности, подмеченных на примерах классического и статистического определений. Аксиоматическое определение вероятности, таким образом, как частные случаи включает, в себя и классическое и статистическое определения и преодолевает недостаточность каждого из них.

В аксиоматике теории вероятностей Колмогорова понятие случайного события используется подход расстаривавшийся при обсуждении геометрических вероятностей. Так, в задачах на геометрическое определение вероятности рассматривалась область Wпространства (прямой либо плоскости), в которую «наудачу» бросалась точка. Случайными событиями при этом являлись попадания в те или иные подобластиwобластиW. Каждое случайное событие при этом является некоторым подмножеством множества точекW. Эта же мысль положена в основу общей концепции случайного события в аксиоматике А. Н. Колмогорова.

Изначально постулируется наличие множества (пространства) Ω элементарных событий. Что представляют собой элементы этого множества для логического развития теории вероятностей безразлично. Далее рассматривается некоторая система Sподмножеств множества Ω. Элементы системыSназываются случайными событиями. Предполагаются, что для системыSвыполняются следующие условия:

1. Sв качестве элемента содержит множество Ω. То есть ΩS.

2. Если А и В - подмножества множества Ω и входят в Sв качестве элементов, то в качестве элементовSсодержит также множества ,,АВ.

При этом под понимается объединение множествАиВ, то есть множество, составленное из элементов Ω, входящих или вА, или вВ, или и вАи вВ; подАВ(пересечение множествАиВ) понимаем множество, состоящее из элементов Ω, входящих и вАи вВ; и, наконец, под () - множество элементов Ω, не входящих вА(вВ).

Поскольку в Sв качестве элемента входит все множество Ω, то согласно второму требованиюSсодержит также , т. е.Sв качестве элемента содержит пустое множество.

Очевидно, что второе требование влечет за собой принадлежность к множеству S сумм, произведений и дополнений конечного числа событий, принадлежащих S. Таким образом, расстотренные элементарные операции над случайными событиями не могут вывести за пределы множества случайных событий.

Система событий S, удовлетворяющая приведенным выше условиям, называется полем событий.

При аксиоматическом построении теории вероятностей от поля событий требуется выполнение и следующего условия:

3. Если подмножества А₁,А₂, . . ,А_n, . . . множества Ω являются элементами множества S, то и их бесконечное объединение (сумма)А₁+А₂+ . . .+А_n+. . . и бесконечное пересечение (произведение)А₁А₂. . .А_n. . . также являются элементами S.

Множество S, образованное описанным способом, носит название борелевского поля событий.

Изложенный таким образом способ определения случайного события вполне согласуется с представлениями, полученными выше при рассмотрении конкретных примеров.

Естественно вводятся и следующие определения. Если два случайных события АиВне имеют в своем составе одних и тех же элементов множества Ω, то естественно их называть несовместимыми.

Случайное событие Ω называется достоверным событием, а случайное событие (пустое множество) - невозможным событием. СобытияАи называются противоположными.

Аксиоматическое определение вероятностей включает следующие утверждения:

1. Каждому случайному событию Аиз борелевского поля событийSставится в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое его вероятностью. Иными словами на множествеSвсевозможных событийАвводится функцияР, называемая вероятностной мерой.

2. Р(Ω) = 1.

З. Если события А₁,А₂, . . ,А_n, . . . попарно несовместимы, то

Из перечисленных аксиом может быть получен ряд важных утверждений.

1. Вероятность невозможного события равна нулю. Р() = 0.

2. Для любого события А вероятность события , противоположного событиюАравна.

3. Вероятность любого события АSзаключена между нулем и единицей так, что 0 < Р(А) < 1.

4. Если событие Авлечет за собой событиеВ, (то есть), то Р(А) ≤ Р(B).

5. Если А₁,А₂, . . ,А_nпроизвольные события изS, то

Р(А₁+А₂+ . . .+А_n) ≤ Р(А₁) + Р(А₂) + . . .+ Р(А_n).

Приведенное аксиоматическое определение вероятности в терминах теории множеств есть не что иное, как введение на множестве Ω нормированной, счетно-аддитивной, неотрицательной меры Р, определенной для всех элементов множества S.

Таким образом при аксиоматическом определении понятия вероятности должно быть указано исходное множество элементарных событий Ω, множество случайных событий S и определенная наSфункцияР. Совокупность этих трех составляющих {Ω,S, Р} называется вероятностным пространством.