3.2.1 Чинники розміщення операційної системи

Уперше проблему вибору місця розташування підприєм-ства (далі виробничої операційної системи) за допомогою мо-делювання запропонував німецький вчений і підприємець А. Ве-бер у 1909 році. При вирішенні цієї проблеми Вебер виходив знаступних посилок:

а) територія однорідна, тобто для усіх можливих місць роз-міщення підприємства діють рівні умови;

б) істотним моментом для ухвалення рішення є виняткововитрати на транспортування продукції, що виробляється напідприємстві;

в) транспортні витрати строго пропорційні відстані пере-міщення продукції.

Математична інтерпритація проблеми розміщення виробни-чої операційної системи на той час була поставлена наступнимчином. Були задані n пунктів реалізації або закупівель Pt з ко-ординатами (xj, yi). Віддалення цих пунктів (Pj) від шуканогомісцеположення S з координатами (xj, yj) складає rt. При цьомузадані об'єм at транспортуємих між S і Pt вантажів і постійнітранспортні витрати с на одиницю відстані і на одиницю об'ємувантажу. Необхідно знайти місцеположення S(xj, yj), при якомутранспортні витрати були б мінімальними:

n

C = c^af,rf ^ min. (3.9 а)

i=1

Відповідна відстань гі в місці перетину координат (xi, yi)за теоремою Піфагора складе:

Гі =yj{x - Xj)2 + (y - Уі)2. (3.9 б)

Звідси можна виразити транспортні витрати як функціюкоординат (xi, yi) місцеположення S:

n I

C(x,У2 = cYjai 'V(x - хі2 +(У - Уі)2. (3.9 в)j=1

Звісно ці витрати повинні бути мінімізовані.

Рішення цієї задачі, тобто визначення координат (Xj, yj)місцеположення S виробничої операційної системи здійснюєть-ся за допомогою обчислення частинних похідних. Тут потрібновказати, що оптимум функції С(xt, yt) можна визначити лишеприблизно. І це пояснюється тим, що в цільовій функції по Ве-беру враховується тільки один фактор — транспортні витрати.

Як бачимо при постановці завдання проектування опера-ційної системи в якості умовно незалежної структури викорис-товується спершу модель топологічної оптимізації. її вхідні па-раметри розглядаються як «умовно незалежні» від чисель-ності вихідних параметрів, приміром, кількості продукції, що112

L( x, y) =

Методичні основи проектування операційних систем

На рис. 3.3 позначені точки в просторі R2, які розташовані

на рівних відстанях від початку для L(x, y), заданих відповіднорівняннями (3.11)—(3.14).

Додатково до вирішення проблем загального менеджментурозглянемо найпростіший приклад визначення відстані для зав-дань оптимізації: нехай операційна система повинна «обслугову-вати» n складів споживачів 7-го сегмента ринку. За умови дос-тавки продукції на склад (в магазин) по прямій відстань будевизначена (а в деяких випадках оптимізована) за відповіднимрівнянням (3.11). У цьому випадку прямою відстанню до опера-ційної системи є окружність, показана на рис. 3.3а.

Методичні основи проектування операційних систем

(3.15)

(3.16)

де Lt (x,y) = V(x - xt )[2] + (y - Уі)

О. М. СумецьОснови операційного менеджменту

У цьому випадку, якщо ОС не збігається з жодною з зада-них точок К\, К2, К3 (у протилежному випадку одна з відстанейLi у рівнянні (3.17) перейшла б у нуль), коефіцієнти обчислюваль-ної точки повинні відповідати рівнянням:

O = Z х- X

дх £ L

У - Уі _ У - У3

O = = Z У - У'

дУ t1 LiСистему рівнянь (3.17) приведемо до вигляду

і X X' X хз

^ т т

i=1 "Ч ^3

(3.18)

z

i=1 Li L3

Оскільки (х - хі)2 + (у - уі)2 = L2, то система рівнянь можебути подана як

(х - х1)(х - х 2 ) + (У - У1)(У - У 2 ) =-1 (3 19)

• L1 L2 2Через те, що чисельник лівої частини рівняння (3.19) є ска-лярним добутком вектора ОС К1 і ОС К2, то

•cos ZK, OC K2 =-1

1 2 2'

•де ZKj OC K2 є кут у точці ОС, утворений трикутникомК1ОСК2 і дорівнює 120°. Використовуючи властивості симетрії,одержимо

ZK1 • OC • K2 = ZK2 • OC • K3 = 120°.

На перший погляд здається, що таке розуміння вимагає, щобпрямі, що з'єднують обчислювальну точку з заданими, утворюва-

(3.17)

118

По шляху АВМ вартість доставки

•Cabm = l' т + k + гв n. (3.21)

Одержавши рівняння (3.20) і (3.21), необхідно вирішити под-війну нерівність

•ra ' n >, < l т + k + гв n (3.22)

і визначити, як розподіляться точки на площині (х, у), у які де-шевше доставляти ресурс першим чи другим шляхом.

Для рішення (3.22) знайдемо рівняння лінії, що утворить гра-ницю між цими двома зонами (геометричне місце точок, дляяких обидва шляхи «рівновигідні»):

•ra n = l т + k + гв n. (3.23)

Звідси маємо, що

r — r =

a в

l • т + k

= const . (3.24)

Таблиця 3.3

Формули для розрахунку терміну доставки вантажу

Тип транспорту

Розрахункова формула

Залізничний

tз = tn.K. + L/Узн + І'з.дод

Морський

tm = L/Уком

Річковий

tр = Тв + І^рн + tр.дoд

Автомобільний

t^а = tH.K. + І/У ек

3. Третя група обмежень позв'язана з оптимізацією складу(структури) або стану ресурсів. Дане оптимізоване завдання —покрокова оптимізація ресурсів — може бути сформульована так.

Нехай система (що має ресурси) описується масою пере-мінних станів х = (хі, х2, ..., хп), що утворюють послідовність х0,

12 п

х , х , ..., х так, що кожна зміна стану подається рівняннямистану (у цьому випадку кінцево-різницевими)

xk+1 = f (xik, xk ,..., хП ; u{+\ uk+[3],..., u^1) (3.27)(і = 1, 2, ..., n)

або

.k+1 r(,„k ,,k

xk+1 = f (xk, uk+1),

k +1 k +1 k +1 k +1де керувальна перемінна u = u ,u2 ...,ur } визначає по-слідовність рішень (стратегій), що змінюють k-ву систему станівна (k +1).

За умови завдання початкового стану х0 завдання буде по-лягати в наявності оптимальної стратегії u1, u2 ... uN, що мінімізуєданий критерій

N—1

xN =Х f0(xk, uk+1) + h(xN) = X0N (x0), (3.28)

k=0

де N = 1, 2 ... — кількість розглянутих кроків (динамічне про-грамування). Як і у випадку неперервних завдань оптимальногокерування, початкові і кінцеві стани можуть бути або заданими,або незаданими.

(3.29)

Принцип оптимальності Беллмана трактує: якщо u1, u2,...,uN — деяка оптимальна стратегія для послідовності станівх0, х1, х2, .., хп у певному рішенні динамічного програмування зпочатковим станом х0, то u2, u3 ... uN є оптимальною страте-гією для саме тих критерію-функції і кінцевого стану х, але зпочатковим станом х1. За позначення min %N (X) через SN(X)принцип оптимального вибору структури (стану) ресурсів вира-зиться рекурентним співвідношенням (рівнянням із приватнимикінцевими різностями, описаними Г. Корн і Т. Корн):

SN (X) = min {/0(X,u1) + SN-11 f (X1, u)|} N = 2,3,

u

SЧX) = min fo(X,u1),

u

де мінімум достатнього стану ресурсу визначається відповіднодо заданих обмежень на продукт чи технологію.

Чисельне рішення цього функціонального рівняння з невідо-мими функціями SN(X) полягає у покроковій конструкції класуоптимальних стратегій для певного класу початкових станів.Очікувана оптимальна стратегія «занурена» у цей клас.

Ряд прикладів рішень такого класу розглядається у відпо-відних розділах математики, описаних багатьма авторами, утому числі Г. Корн і Т. Корн.

4. Четверта група обмежень при вирішенні завдань опти-мізації — це обмеження, пов 'язані зі споживачем. Точка роз-міщення системи повинна забезпечувати мінімальні чи оп-тимальні витрати на доставку продукції споживачеві. Якщож проблема споживача вирішується як багатокритеріальна, топроблема розміщення вирішується за принципом оптимізації вит-рат доставки до споживача.

Фундаментальна економіко-математична модель вирішеннязавдань раціонального розміщення об'єктів оптимізації має вигляд

N

В = min £ (BmpiK + Bxpi). (3.30)

i=1

Річ у в тім, що слід знайти таке місце для розміщення опе-раційної системи, яке б дало змогу мінімізувати витрати на транс-портування продукції, що виготовляється, Втрік і на збереженняостанньої в потребованих обсягах Вхрі, а, отже, і мінімізуватифункцію (3.30) заздалегідь відомих обмежень, що являють со-бою умови оптимального розміщення.

Для оцінювання альтернативних варіантів на базі викорис-тання сучасних обчислювальних засобів розроблено алгоритмоптимізації цільової функції (3.30), в основу якого покладена ідеяалгоритму «київський віник». Дії за ним складаються у форму-люванні правил послідовного звуження маси конкурентоздат-них варіантів. Він є багатокроковим процесом, на кожному кроціякого відкидається певне число варіантів Qj, що не відповіда-ють критерію оптимальності.

Даний алгоритм є більш раціональним, ніж універсальні ме-тоди повного перебору, динамічного програмування, випадково-го пошуку тощо.

Отже, сформулюємо умови пошуку вибору раціональногорозміщення операційної системи в просторі як завдання опти-мального керування. Нехайр(пи А) є Р — вектор фазових коор-динат, під яким мається на увазі безперебійність постачанняпродукцією споживачів з множини А; r(A, uj) є R — вектор керу-вання, що полягає у виборі відповідного раціонального плану роз-міщення операційної системи.

Процес керування обумовлений деякими початковими (Р0,£°) і кінцевими (РТ, £т) умовами:

Р0(иь а) є £°;

(3.32)

Рт(иі, А) є ет.

Задані крайні обмеження характеризують стан системибезперебійного постачання споживача в заданому часовомуінтервалі. Оптимальне розміщення операційної системи буде от-римано у разі виконання умови

В = В [р(щ, а), r(a, uj)] ^ min.

Розглянемо алгоритм оптимізації цільової функції (3.30) заобмежень (3.31) по окремих кроках.

(3.31)

Для наочності представимо алгоритм у вигляді схемирис. 3.6. На осі абсцис Q відкладаються значення обсягу поста-чань (потреба) Uj, а на осі ординат Ak — значення витрат натранспортування і збереження, що відповідають операційнимсистемам, розташованим у k-их точках. Відстань між точкамив площинах, що перетинають вісь абсцис, відповідає значеннямзагальних витрат.

0

> в

А,

«і £ min

B

/>«2 min

і2

«i min

B

vB2

Bi \

b2-I V4^b2 \

Q

Bi-iBi

Рис. 3.6 Схема алгоритму з усіканням розглянутих варіантівпісля однієї ітерації

По осі а відбуваються кроки під номером і і визначаєтьсямісце розташування операційної системи в регіоні, якому відпо-відає мінімум витрат.

На першому кроці відшукується місце розташування опе-раційної системи, що забезпечує мінімальні витрати на поста-чання конкретного обсягу продукції и 1. Для цього визначають-ся витрати на постачання продукції U1 по всіх передбачуванихмісцях розташування складів B1, ... B\... Серед цих значеньвитрат виявляється те місце, де буде забезпечуватися їхмінімум — min BlK.

Точка на осі адо, що відповідає min B^ є обчислюваною. Вонабереться в розрахунок для визначення оптимального розміщен-ня операційної системи в регіоні. Решта варіантів відсівається,бо функція (3.32) опукла і тому допускає усікання усіх варіантів,що не відносяться до оптимальної траєкторії. Потім відбуваєть-ся наступний крок і визначаються витрати щодо доставки виз-наченого обсягу продукції обраному споживачеві, тобто розра-ховуються значення Bj1, В\ ... B\...

Умова існування другої оптимальної точки на осі адо маєвигляд

B1'2 = min(min B1 + B2). (3.33)

Уведемо відстань між площинами адо, що перетинають вісь Q.

Будь-яка ламана, що не додержує min B],, minB2... minBпк,не може вважатися рішенням. Ці ламані утворять безліч ва-ріантів стратегій розміщення операційної системи, що відкида-ються на кожному кроці, завдяки чому відбувається звуженняконкурентних варіантів.

Відкидання варіантів на кожному кроці відповідає рекурент-ному рівнянню

BlK = min(minBnK + minBf1). (3.34)

Рух по осі Q продовжується до досягнення оптимальноїумови. Отримана оптимальна траєкторія має таку властивість,що будь-який її відрізок також є оптимальною траєкторією.

Наведений алгоритм є найбільш раціональним, тому що ве-лика кількість варіантів не аналізується. З іншого боку, це при-водить до того, що збільшується імовірність пропуску оптималь-ного варіанта. Тому у разі здійснення операцій з розрахунку до-цільно використовувати алгоритм, за яким відкидання варіантіввідбувається не на кожному кроці по ut, а через декілька кроків(рис. 3.7), тоді мінімум витрат визначається відповідно до

min^{ B1n, B2n... Bk"}, (3...35)

де min^ — кількість ітерацій, після яких відбувається усікання.

Після проведення min^-ітерацій аналізуються варіанти і оби-рається конкретний, якому відповідає мінімум витрат. Усіканнянаступних варіантів відбувається після декількох ітерацій, числояких визначається заздалегідь.

Оптимізаційна модель (3.30) з заданими обмеженнями маєряд модифікацій, а у представленій формі вирішується завданняраціонального розміщення операційної системи. У цю модель уразі необхідності можуть бути внесені обмеження за удоскона-леною спроможністю технічних засобів (у тому числі і помісткості зони збереження), а також накладені обмеження запропускною спроможністю транспорту на різних ділянках абообмеження за вибором виду транспорту.

5. П'ята група обмежень: наявність робочої сили, щомає необхідні навички і практику визначених видів діяльності.Місцеве джерело робочої сили, придатне для виконання постав-лених завдань, є найдешевшим і бажаним в організації операцій-них систем.

Шоста група обмежень — стала інфраструктураобраного місця розташування операційної системи.

Сьома група обмежень полягає в можливій технічнійпідтримці з боку інших операційних систем, тобто передбачу-ване місце розташування повинно знаходитися якнайближче доінших задіяних систем — інформаційних, наукових, сервісних,промислових тощо.

Восьма, інституціональна, група обмежень полягаєв політичній та економічній підтримці з боку держави.

Усі ці чинники й обмеження характеризують зовнішнє сере-довище функціонування системи. Внутрішнє топологічне сере-довище відбивають технологія і технологічні обмеження:1) обмеження, пов'язані з інженерною геофізикою (тут вирі-шення проблеми розміщення припускає облік умов фізичноїбезпеки об'єкта операційної системи і приклади негативно-го плану — вибір місця для атомної електростанції, зсувніпрояви в найбільших містах України, підтоплення територій,Волгодонський завод «Атоммаш»);

оцінювання фактичної небезпеки екстремальних режимівабо руйнування (операційна система має розташовуватисяна такій відстані від місць функціональної небезпеки — про-мислові об'єкти підвищеної небезпеки, аби забезпечуватиможливість адекватного технологічного й організаційногореагування на екстремальну ситуацію: евакуація населен-ня, спеціальні заходи щодо запобігання забруднення навко-лишнього середовища — катастрофа в Бхопалі на заводіЮніон Карбайд в Індії, де від викиду газів загинули 2500 осіб;катастрофа в Серезо (Північна Італія) — викид діоксинів урічку; Чорнобиль);

технологічні обмеження і критерії, пов'язані з можливістюабо неможливістю утилізування відходів і ліквідації спорудчи устаткування (Запорізький завод — шлами; сухе схови-ще відходів ядерного палива — на Запорізькій АЕС).