7.4. Нелінійні залежності.

В практиці економічного аналізу найбільш часто використовують наступні нелінійні функції залежності: гіперболічну, параболічну другого порядку, напівлогарифмічну та деякі інші.

Якщо результативні ознака із збільшенням факторної ознаки зростає або спадає не безкінечно, а прямує до кінцевої мети, то для її аналізу застосовують рівняння гіперболи:

Для знаходження параметрів цього рівняння способом найменших квадратів використовується система нормальних рівнянь:

За способом найменших квадратів параметри гіперболи визначають за

формулами:

Парабола другого порядку застосовується в тих випадках, коли із зростанням факторної ознаки відбувається нерівномірне зростання або спадання результативної ознаки. Рівняння параболи другого порядку визначається за формулою:

Параметри цього рівняння знаходять способом найменших квадратів шляхом складання і розв’язку системи нормальних рівнянь:

Вирівнювання за напівлогарифмічною кривою проводять в тих випадках, коли із зростанням факторної ознаки, середня результативна ознака спочатку до певних меж зростає досить швидко, але пізніше темпи її зростання поступово сповільнюються.

Напівлогарифмічна функція має вигляд:

Для знаходження параметрів напівлогарифмічної функції способом найменших квадратів, розв’язують систему двох рівнянь:

7.5. Побудова багатофакторних моделей.

В багатьох випадках на результативну ознаку впливає не один, а декілька чинників. Між ними існують складні взаємозв’язки, тому їх вплив на результативну ознаку комплексний і його не можна розглядати як просту суму ізольованих впливів.

Багатофакторний кореляційно-регресійний аналіз дозволяє оцінити міру впливу на досліджуваний результативний показник кожного із введених в модель чинників при зафіксованому на середньому рівні інших чинників.

Форму зв’язку можна визначити шляхом перебору функцій різних типів, але це зв’язане з великою кількістю зайвих розрахунків. Однак, беручи до уваги, що любу функцію багатьох змінних шляхом логарифмування або заміни змінних можна звести до лінійного виду:

Параметри рівняння знаходять за способом найменших квадратів.

Кожний коефіцієнт рівняння показує ступінь впливу відповідного чинника на результативний показник при фіксованому положенні решти чинників, тобто, як із зміною окремого чинника на одиницю змінюється результативний показник.

На основі коефіцієнтів регресії не можна судити, яка із факторних ознак найбільше впливає на результативну ознаку, так як коефіцієнти регресії між собою не порівняльні, оскільки вони володіють різними одиницями виміру.

З метою виявлення порівняльної сили впливу окремих чинників і резервів, які закладені в них, статистика вираховує часткові коефіцієнти еластичності, а також бета-коефіцієнти.

Часткові коефіцієнти еластичності показують, на скільки відсотків в середньому зміниться результативна ознака із зміною на 1 % кожного чинника при фіксованому положенні інших чинників.

Для визначення чинників, в розвитку котрих закладені найбільші резерви покращення досліджуваної ознаки, з врахуванням ступеня варіації чинників рівняння множинної регресії, вираховують часткові β-коефіцієнти, які показують на яку частину середнього квадратичного відхилення змінюється результативна ознака із зміною відповідної факторної ознаки на величину її середнього квадратичного відхилення.

Для характеристики ступеня тісноти зв’язку в множинній прямолінійній кореляції використовують множинний коефіцієнт кореляції:

Множинний коефіцієнт кореляції показує, яку частину загальної кореляції складають коливання, під впливом чинників х1, х2,..., хп – закладених в багатофакторну модель для дослідження.

Множинний коефіцієнт кореляції коливається в межах від «0» до «± 1». При R=0 зв'язок між досліджуваними ознаками відсутній, при R=1 – функціональний.