для первого курса / для первого курса / Ответы по вышке / Ответы по вышке / ДУ / 07. Решение линейных не однородных ДУ ЛНДУ н

( )

Решение линейных не однородных ДУ ЛНДУ н-го порядка.

+ 1( )

(−1)

+ 2( ) (−2) + + −2

( )

′′ + −1( ) ′ + ( )

Запишем ЛНДУ н-го порядка в общем виде.

Уравнение (1)= ( ) (1)

отличается от соответствующего однородного уравнения только

наличием правой части не равной нулю.

Сформулируем теорему о структуре общего решения ЛНДУ н-го порядка.

Где( )

0 -это решение(−1)

(−2)

=

+ ′

′′

′

Общее решение уравнения (1) имеет вид0:

+ −1( )

+ ( ) = 0 (1)

+ 1( )

+ 2( )

+ + −2( )

соответствующего однородного уравнения.

y' – называется частным решением

уравнения (1)

и будет

определяться

функцией стоящей в правой части однородного уравнения.

Сформулируем теорему о составе частного решения ЛНДУ н-го порядка.

Если правая часть:

( )

= ( )

То частное решение будет равняться:

=1

Для

′

=

соответствует функция

( )

=1

Причем

решения

задачи

каши

задаются

начальные

условия

из

которых

определяются

( 0)

= 0

′

( 0)

= 1

( +1)( 0) = ( −1)

= 0

+ ′

→ 0 =

− ( )

− =

0=∑ =1

( 0)− ( 0)

0=∑ =1

′( 0)− ′( 0)

Если подставить начальные условия в (*) то мы=1получим

Откуда определяются

0=∑ =1

(

( 0)−

(−1)

( 0)

постоянные.

Нахождение частного

решения

ЛНДУ

осуществляется разными способами

наиболее часто употребляемый и простой связан с правой частью уравнения (1)

специального вида, то есть F(x) имеет специальный вид.

Правая

часть

( ) =

( ( ) cos

+ ( ) sin )(4)

Правая часть специального вида имеет вид:

( )

полином степени н

вид

(4)

в данном форме

( )

специального вида имеет

-это

-полином степени м

λ и ω - это действительная и мнимая часть комплексного сопряженных корней

вида

±

2.

Если

=0

→

1.

=0

Формула (4) включает в себя очень распространенный класс функций.

3.

=0=0 → ( )

Функция (4)

cos

= =0

→

sin

часто

=0

Согласно данного метода частное решение существует в таком же виде как и

Re(x),Se(x) – это

=

( ( ) cos + ( ) sin )

(5)

сама функция (4)

±

полиномы

Числа

совпадают с корнями если ω = 0, то корни будут действительными

множитель

добавляется если меняются кратные корни.