для первого курса / для первого курса / Ответы по вышке / Ответы по вышке / ДУ / 01. Дифференциальные уравнения. основные понятия ОДУ
..pdfДифференциальные уравнения.
При решении многих задач естествознания составляются уравнения связывающие независимые переменные, искомую переменную, и её производные.
Опр. дифференциальным уравнением называется уравнение в котором неизвестная искомая функция стоит под знаком производной или
дифференциала. Ньютона |
считают основоположником дифференциальных |
|||
X=x(t) является искомой |
|
̈= ; |
2 |
|
|
|
2 = ( ); |
||
уравнений. |
|
|
|
|
|
функцией, где t это время. Это уравнение описывает |
|||
движение материальной точки вдоль оси ОХ |
под действием силы. |
|||
В 18веке Лейбниц более чисто описал, ввел терминологию дифференциальных
уравнений. В записанном уравнении производная второго порядка вычисляется |
|||||||||
Если искомая − 2 = 0 |
←→ |
|
− 2 = 0 ; |
′ |
− 2 |
= 0; |
|||
дл функции зависящий от одной переменной. |
|
|
|
||||||
функция |
зависит |
от |
2 или |
более |
переменных, то |
||||
|
2 |
|
= |
2 |
|
|
|
|
|
Мы в данном разделе будем |
2 |
|
2 ; = ( , ) |
|
|
|
|||
дифференциальное уравнение содержит |
частные производные. |
||||||||
для которых исходная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
изучать обычные дифференциальные уравнения функция зависит от одной переменной и производные
только обыкновенные.
1.1Основные понятия ОДУ
Порядок дифференциального уравнения называется порядок старшей |
|
производной входящей в данное уравнения. |
|
Если мы запишем: |
, , ′, ′′ , ′′′ , ( ) = 0 (1) |
В общем случае ОДУ n-го порядка можно записать в неявном виде: |
|
Получим явный вид. |
( ) = , , ′, ′′ , ′′′ , ( )−1 (2) |
Решением или интегралом ОДУ называется функция y=ϕ(x) которой при подстановке в исходное уравнение обращает его в тождество.
Решением является функциями |
′′ |
+ = 0 |
Что бы убедиться вычислим. |
= sin |
|
|
′ |
= cos |
Подставим: |
′′ |
= sin |
Рассмотрим
−sin + sin = 0
Непосредственной подстановкой мы убедились что решение правильное. Так же можно убедиться что следующие=функцииsin ; так− же являются ответами:
= cos
= sin +
Из приведенного примера следует, что ОДУ имеет множество решений.
Очевидно в самом определении решения ОДУ заложена эта многозначность. Поскольку решение простого уравнения′ = ( ) →: = ( ) + ;
Является семейством первообразных.
Поскольку процедура отыскания решения является интегрирования данного ДУ то она уже стала многозначной.
Мы рассмотрим решение ДУ записанное в явном виде. Может быть и неявном |
|
|
Φ( ; ) = 0(4) |
виде. |
|
|
|
|
называется интегрально кривой. |
Определение. График решения ОДУsin = 0 |
|