для первого курса / для первого курса / Ответы по вышке / Ответы по вышке / ДУ / 08. Нахождение частного решение ЛНДУ методом Лагранжа

складывается из 2 частей.

Где

решение соответствующего однородного уравнения.

̇

̇: ′′

= ̇+

у

+ 1 ′ + 2 = 0

функции.

1 и у2 линейно независимые̇= С1 1( ) + 2 2( ) (2)

Лагранж предложил искать общее решение в виде 2. Но С1 и С2 считать не

постоянными интегрирования а функциями зависящими от х.

С1

= С1

(х)

Тогда общее решение уравнения 1. 2

= 2

(х)

является решение

уравнения 3 то оно должно ему

Если

выражения 3

= С1( ) 1( ) + 2( ) 2( ) (3)

удовлетворять, потому вычислим производные от 3 и подставим в уравнение 1.

′

′

′

Поскольку

неопределенными являются функции С

= С1( ) 1( ) + 2( ) 2( ) + С1( ) 1′(1 )х+и2С( 2()х),2′(то) можно ввести

упрощающее вспомогательное условие:

( ) = 0 (4)

′

′

Тогда

С1′( ) 1

( ) + 2( ) 2

Вычисли вторую

производную от последнего равенства:

= С1( ) 1

′( ) + 2( ) 2′( )

′′

′′( )

′′

( )

Подставим

производные в первоначально уравнение и получим.

= С1( ) 1

+ 2( ) 2

+ С1

′( ) 1′( ) + 2

′( ) 2′( )

′′

′′

′

′ ′

таким

образом ,

что бы сохранилась

Преобразуем последнее

уравнение

С1 1

+ 2

2

+ С1′1

+ 2 2

+ 1(С1 1′+ 2 2′) + 2(С1 1 + 2 2) = ( )

структура ДУ ′′

′

′′

′

′

′ ′

Где замечаем, что выражения в скобках равняются 0, так как у1

и у2 являются

С1( 1 + 1 1 + 2 1) + 2

( 2 + 1 2 + 2 2) + С1

′1

+ 2 2

= ( )

решениями соответствующих однородных уравнений.

1′′

+ 1

1′

+ 2

1

= 0

Тогда остается равенство:

2′′

+ 1

2′

+ 2

2

= 0

′

′

′

Объединим уравнение 4 и 5 и

получим следующую систему:

С1′1

+ 2 2

= ( )(5)

С1′1′

+ 2′ 2′

= ( )

′

′

Получим

систему 6 из которой будем

определять функции С

1

и С2.

С1 1 + 2 2 = 0

(6)

Проинтегрировав полученные выражения для

С1’

и С2’ получим С1

и С2 ,

которые

можно подставить

в выражение

3

и тем

самым получить

общее