для первого курса / для первого курса / Ответы по вышке / Ответы по вышке / ДУ / 05-06. Линейные ОДУ н-го порядка
..pdfЛинейные ОДУ н-го порядка.
Запишем( ) + 1( )в общем(−1) +виде2( такое) ( уравнение−2) + + ЛОДУ−2( ) н-го′′ +порядка−1( .) ′ + ( ) = 0 (1)
( )- это коэффициенты в данном уравнении.
В общем случае они являются функциями зависящими от х, но в частном случае
они могут быть и постоянными, тогда уравнение 1 называю ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Порядок уравнения определяется наибольшим порядком производной поэтому, для уравнения н-го порядка присутствие н-ной производной обязательно. Если по чему – либо коэффициент при этой производной равняется нуля то порядок уравнения понижается и будет определяться оставшееся максимальной производной. Уравнение 1 называется линейным, потому что все производные в 1 степени. Уравнение 1 называется однородным если его права часть равняется нуля.
Сформулируем теорему о структуре общего решения уравнения 1:
Если функции у1, у2, у3…уn линейно не зависимы то его решения у можно |
||||||||||||||||
представить в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
|||
|
|
|
|
= |
|
|||||||||||
Для нахождения частного решения |
постоянные С определяются по задаче каши: |
|||||||||||||||
|
=1 |
= 0 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
( 0) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
′ |
( 0) |
|
= 1 |
|
(3) |
|
|||||
решение (2): |
|
( +1) |
( 0) |
|
= (−1) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|||||||
Что бы определить постоянные |
|
|
мы должны подставить условия (3) в общее |
|||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
= |
|
( ) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
( 0) |
|
(4) |
||
|
|
|
|
= |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
= (−1)( 0) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(4) будет определитель составленный из у и |
|||||||||
Главным определителем системы =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
производной от у – этот определитель называется определителем Вронского |
||||||||||||||||
Поскольку общим |
|
|
′′ |
+ 1 |
|
′ |
+ 2 |
= 0 (5) |
|
|||||||
Остановимся подробней на решении ОЛДУ с постоянными коэффициентами. |
||||||||||||||||
|
решением данного уравнения (50 согласно теореме о |
|||||||||||||||
структуре будет функция |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (6) |
|
|
|||||||||
То нужно подобрать такие частные=1функции у1 |
и у2, которые являлись бы |
|||||||||||||||
экспоненты у = |
, тогда дифференцируя найдем производные: |
|||||||||||||||
линейно независимыми функциями. Будем искачать частные решения в виде
|
|
|
|
|
|
′ = |
|
И подставим в уравнение (5) |
|
|
|
′′ |
= 2 |
= 0 |
|
2 |
+ 1 |
+ 2 |
|||||
Так как экспонента не может |
|
2 |
( |
2 |
+ 1 + 2) = 0 |
||
Полученное уравнении 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 + 2 = 0 (7) |
|||||
|
равняться 0 то: |
|
|||||
называется характеристическим уравнение ОДУ(6) Характеристическое уравнение можно было бы сразу получить заменой у и производных от у. Аналогичным образом мы можем составить характеристическое уравнение и для ОДУ большого порядка. Поскольку
квадратное |
уравнение |
|
может |
|
иметь |
|
3 |
|
случая |
|
естественных корней то |
|||||||||||||||||||
1. |
1 ≠ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у1 |
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
рассмотрим все 3 случая. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Что бы записать определитель |
Вронского и2 |
убедиться, что он отличается от нуля |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
у2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
нужно взять производные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у1′ = 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
у22′ = 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
= |
( 1+ 2) |
( |
− ) ≠ 0 |
|
|||||||||||||
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
частных решение в ДУ. |
|
|
|
не |
зависимыми2 |
и вполне1 |
могут играть роль |
|||||||||||||||||||||||
Функции у |
|
и у |
являются линейно |
|||||||||||||||||||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
у = С1 |
|
1 + С2 |
2 (8) |
|
|
|
||||||||||||||||
Согласно теореме о структуре общего решение уравнение 5 примет вид. |
||||||||||||||||||||||||||||||
Для того1 =что2 |
|
|
|
1 |
и у2 |
отличались друг от друга их принимают в виде. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у1 |
= |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
бы решение у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Можно проверить, что функции у1у2и=ух2 будут линейно не зависимы и тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
у = С1 |
1 |
|
+ С2 |
х 2 |
(9) |
|
|
|||||||||||||||
решение примет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у1 = ( + ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1,2 = ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
По функции Эйлера решения у1 |
|
и у2 |
|
у2 |
= |
преобразовать(−)2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у1 |
|
|
|
|
|
можно |
в виде. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (cos |
+ sin |
(10) |
|
|
||||||||||||||||
Мы знаем, что каждое ДУ |
|
|
|
у2 |
|
= |
|
|
(cos |
− |
sin |
(11) |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
может иметь |
множество решений, что бы упростить 10 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у1 |
= 1 |
+ 2 |
= |
cos |
(12) |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и 11 решили избавиться от мнимых выражений. |
|
|
|
(13) |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у2 |
|
= |
1 |
2 |
|
= |
|
sin |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Можно убедиться, что функции у1 и у2 линейно не зависимые и их можно
считать частными решениями уравнения (6) в случае комплексных сопряженных корней. И тогда общееурешение= С1 будетcos иметь+ С2 вид:sin (14)
Обобщим формулы 8, 9 и 14 на случай ЛОДУ н-го порядка, если коэффициенты этого уравнения( ) + 1 постоянные(−1) + 2 . (−2) + + −2 ′′ + −1 ′ + = 0 (15) Составим характеристическое+ 1 −1 + 2 −уравнение2 + + −для2 ОДУ2 + (15)−1 1 + = 0 (16)
В уравнении 16 мы будем иметь ровно n корней, среди которых могут быть все три типа карней.
Окончательно общее решение будет складываться из всех возможных частных решений, причем:
1. |
Каждому простому корю соответствует слагаемое |
С2 |
|
|
−1 |
|||||||||||
2. |
Кратные корни с кратностью К |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3. |
Простая |
пара |
|
|
=корней( 1 + 2 |
|
+ + соответвует) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
= ( ) |
|
||
|
|
|
корней |
|
|
|
соответствует слагаемое: |
|||||||||
4. Каждой кратной паре у = С1 |
|
|
cos + С2 |
|
|
sin |
|
|
||||||||
у = С1 |
+ 2 2 |
|
|
1,2 |
= ( ) |
|
|
|
|
|
+ 2 2 |
+ + |
||||
+ + −1) cos + С2 |
||||||||||||||||
|
−1) sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|