для первого курса / для первого курса / Ответы по вышке / Ответы по вышке / ДУ / 04. Решение ДУ 2-го порядка, допускающего понижение степени
..pdfРешение ДУ 2-го порядка, допускающего понижение степени.
В общем случае ДУ 2-го порядка не всегда удается решить.
Рассмотрим частный случай уравнений которые можно решить |
||||||||||||||||||||
Такие |
′′ |
= ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аналитически. |
|
|
|
′ |
|
= ( ) + 1 |
|
|
|
|||||||||||
|
уравнения решаются повторным интегрированием. |
|
||||||||||||||||||
Пример: = ( ) + |
|
1 |
= |
( ) + 1 |
+ 2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
′ = |
|
|
|
′′ |
|
= 120 |
|
|
2 + 1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
120 |
+ 1 = 60 |
+ |
|
|||||||||||||
Решим задачу |
= (60 |
2 |
+ ) |
= 20 |
3 |
+ |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 0) = 1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
каши для данного ДУ. Считая что |
|
|
||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
′( 0) = 2 |
|
|
|
|
|
||||||
Аналогичным способом |
|
|
|
|
|
|
С1 |
= 2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
= 20 |
3 |
+ 2 + 1 |
|
|
|
|||||||||||||
И решение примет вид: |
|
|
|
|
|
|
С2 |
= 1 |
|
|
|
|
|
|||||||
же типа. |
|
|
можно решить ДУ и высших порядков такого |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
Рассмотрим Ду2-го порядка,′′если: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
= ( ) |
|
|
|
|
|
||
В этом случае используется |
подстановка: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3. |
Рассмотрим ДУ 3-го |
|
|
|
|
|
|
= |
( ) |
|
|
|
|
|
||||||
Дано уравнение типа. |
|
|
порядка′′ . |
′ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
′ |
|
= ( ) |
|
|
|
|
|
|||||||
Производиться замена типа: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
′′ |
= ( , ′) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
справочники. |
же как |
|
для |
|
|
= |
|
|
существуют |
специальные |
||||||||||
Для |
ДУ так |
|
интегралов′′ ′ |
|||||||||||||||||