для первого курса / для первого курса / ВЫШКА / 47.Формула Тейлора

Формула Тейлора.

Функция f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn=Pn(x) называется многочленом или полиномом целой рациональной функции, зависящей от х.

Приведем примеры многочленов.

P0(x)= a0=const прямая параллельная ОХ P1(x)= a0+a1x прямая по углом

P2(x)= a0+a1x+a2x2 парабола

Представим теперь разложение многочлена по степеням разности(х-х0) где х0 – некое фиксированное значение х x0=const R

Запишем полином Pn(x)

Pn(x) =a0+a1(х-х0)+a2(х-х0)2+…+an(х-х0)n(2)

Коэффициент ak где к=0,n пока нам не известны. Определим эти коэффициенты. Если считать х=х0 то Pn(x)= a0

Вычисли производную от выражения 2.

P’n(x0) =a1+2a2(х-х0)+3a3(х-х0)2+…+nan(х-х0)n-1(3)

Принимая х=х0 получим: P’n(x) =a1

Что бы найти коэффициент а2 продеференцируем равенство (3) еще раз:

P’’n(x) =2a2+3*2a3(х-х0)+4*3a4(х-х0)2+…+n*(n-1)an(х-х0)n-2(4)откуда получаем a2=P’’n(x0)/2!

Для а3 продеференцируем равенсво 4.

P’’’n(x) =3*2a3+4*3*2a4(х-х0)+5*4*3a5(х-х0)2+…+n*(n-1)* (n-2)an(х-х0)n-3(5) Принимая х=х0 получим a3= P’’’n(x0)/3*2= P’’’n(x0)/3!

Данный процесс можно продолжить и аналогичным образом найти и а4, и а5, и так далее. Но уже сейчас можно заметить рекуррентную формулу для определения

коэффициентов в формуле (2) a4=P(4)n(x0)/4!

Для определения любого коэффициента получаем формулу ak=P(k)n(x0)/k!

Подставим найденные коэффициенты в формулу 2. И получим

Pn(x) = P0(x)+(P’n(x)/1!)(х-х0)+(P’’n(x0)/2!)(х-х0)2+…+(P(n)n(x0)/n!)(х-х0)n(7)-формула

Тейлора для многочлена.

При х0=0 примет вид Pn(x) = P0(x)+(P’n(x)/1!)х+(P’’n(x0)/2!)х2+…+(P(n)n(x0)/n!)хn(8)

Данную формулу модно применить к произвольной функции y=f(x), при этом нужно что бы функция была деференцируема на интервале, где она исследуется.

Формально заменяя полиномом произвольную функцию мы всегда будем иметь некую погрешность Rn(x)

If(x)-Pn(x)I= Rn(x)(9)

Чем больше порядок (степень) n, тем ближе полином к функции, но идеального совпадения все равно не будет и погрешность (9) всегда будет иметь место. Формула 9 означает погрешность (ошибку) при замене функции полиномом - IPn(x)-f(x)I= Rn(x)(9а)

Поэтому формула Тейлора для произвольной функции записывается так же как

формула (7) но учитывается возникающая погрешность.

Pn(x) = P0(x)+(P’n(x)/1!)(х-х0)+(P’’n(x0)/2!)(х-х0)2+…+(P(n)n(x0)/n!)(х-х0)n+Rn(x)(10) –

формула тейлора для произвольной функции. При х0=0 она принимает вид:

Pn(x) = P0(x)+(P’n(x)/1!)х+(P’’n(x0)/2!)х2+…+(P(n)n(x0)/n!)хn+Rn(x)(11)

Для определения погрешность Rn(x) в формулах 10 и 11существуют различные оценивающие формулы наибольшее применение находит формула Лагранжа. Которая записывается в виде следующего слагаемого в разложении

Rn(x) = (f(n+1)(e)/(n=1)!)*(x-x0)(n+1), где е (х,х0)(2)

Остаточный член в формуле Лагранжа.

Другие оценочные формулы мы не рассматриваем.

Функции для которых остаток Rn(x)стремиться к 0 Rn(x) 0 называются аналитическими. Такие функции с любой точностью можно заменить многочленом