для первого курса / для первого курса / ВЫШКА / 5.Метод крамера
..pdfМЕТОД КРАМЕРА
При решении методом Крамера используем определители n -го порядка. Пусть задана система (3). Составим главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных:
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
|
a21 |
a22 |
... |
a2n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
an1 |
an2 |
... |
ann |
|
ТЕОРЕМА. Если определитель системы 0 , то систему (3) можно решить по формуле Крамера, причем это решение единственное:
x x1 |
; |
x |
2 |
x2 |
; |
… ; |
x |
n |
xn , |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где определитель xi |
может быть получен из главного определителя путем замены i -го |
столбца на столбец из свободных членов.
ПРИМЕР 4. |
|
|
|
|
|
|
x1 2x2 x3 4 |
||||||
|
|
5x2 |
3x3 1. |
|||
3x1 |
||||||
|
2x |
7x |
2 |
x |
3 |
8 |
|
1 |
|
|
|
Составляем главный определитель, элементами которого являются
коэффициенты при неизвестных: |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
1 |
|
||
|
3 |
5 |
3 |
|
|
2 |
7 |
1 |
|
|
|
|
|
|
и три вспомогательных определителя: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
1 |
|
|
1 |
4 |
1 |
|
|
1 |
2 |
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||
x1 |
1 |
5 3 |
; |
x2 |
3 |
1 |
3 |
; |
x3 |
3 |
5 |
1 |
. |
|
|
8 |
7 |
1 |
|
|
2 |
8 |
1 |
|
|
2 |
7 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определитель x1 составлен из определителя путем замены элементов первого столбца свободными членами системы уравнений. В определителях x2 и x3
соответственно второй и третий столбцы заменены свободными членами. Вычислим все четыре определителя.
|
1 |
2 |
1 |
|
|
3 |
5 |
3 |
5 12 21 10 21 6 33; |
|
2 |
7 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
1 |
|
|
||
x1 |
1 |
5 |
|
3 |
|
20 48 7 40 84 2 33 ; |
||
|
8 |
7 |
1 |
|
||||
|
4 |
1 |
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|||
x2 |
3 1 |
3 |
|
|
1 24 24 2 24 12 33; |
|||
|
2 |
8 |
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
x3 |
|
3 |
5 |
|
|
2 |
7 |
|
|
|
|
Неизвестные x1 , x2 ,
x1
x1
4 1 40 4 84 40 7 48 33. 8
x3 находим по формулам |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x1 ; |
x |
2 |
x2 |
; |
x |
3 |
x3 |
; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
33 |
1; |
x |
|
|
33 |
|
1; |
x |
|
|
33 |
|
1. |
||
|
2 |
|
3 |
|
||||||||||||
33 |
|
33 |
|
|
|
33 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Если один из вспомогательных определителей отличен от нуля, то система уравнений не имеет решения (если 0 ).
Если главный и все вспомогательные определители равны нулю, то система имеет бесконечно много решений.
Если главный определитель отличен от нуля, то система уравнений имеет единственное решение.