Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

для первого курса / для первого курса / ВЫШКА / 49. Исследование поведения функции

.pdf
Скачиваний:
50
Добавлен:
08.06.2015
Размер:
135.5 Кб
Скачать

Исследование поведения функции. Общий план исследования функции.

1)Определение общего характера функции

a.Область определение функции Д(f)

b.Вид функции (четность(нечетность), периодичность, симметричность и т.д.)

c.Точки пересечения с осями

d.Вычисление предельных значений функции на границе области существования, Нахождение асимптот.

2)Уточнение характера кривой по первой производной(нахождение интервалов возрастания и убывания, точек экстремума)

3)Уточнение характера кривой по 2 производной(нахождение интервала выпуклости

ивогнутости, а так же точек перегиба)

Расстроим пункт 1d. Нахождение асимптот кривой.

Определение. Прямая называется асимптотической кривой, если расстояние от точки на кривой до этой прямой есть величина бесконечно малая, при условии, что эта точка неограниченно удалена от начала координат.

Существует 3 типа асимптот Асимптота параллельная оси ОУ называется вертикальной, все остальные асимптоты

наклонные, частная случаем наклонной асимптоты является горизонтальная наклонная. Вертикальные асимптоты находятся по точкам разрыва 2-го рода в котором предел

слева и справа равняются -+бесконечности.

Наклонная асимптота определяется уравнением прямой: у=кх+b, если b=0 то к определяется как:

Угловой коэффициент определяется по предыдущей формуле.

При вычислении пределов по предыдущим формуле нужно иметь в виду, что пределы при + и – бесконечности могут иметь разные результаты.

Если наклонный коэффициент к=0, то наклонная асимптота вырождается в горизонтальную, и в определяется по следующей формуле

2. Рассмотрим определенные интервалы возрастания и убывания, а так же найдем точку экстремумов функции.

С помощью первой производной функции выявляется интервалы возрастания и убывания функции, а так же точки экстремума. Под точкой локальной экстремумов функции мы будем подразумевать точки максимума и минимума этой функции.

Из школьной программы мы знаем, что необходимое условие экстремума (НУЭ) заключается в наличии стационарных точек первого рода( критических точек 1 первого рода), которые определяются из условия равенства 0первой производной или точек в которой производная не существует.(острый экстремум)

Интервал возрастания характеризуется положительным у’ 0 Достаточное условия экстремума. Заключается в смене знака производной при

переходе через точку экстремума. При чем будет максимум если знак меняется + на -, минимум – с +.

Наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке называется тотальным экстремумом.

Отыскание экстремумов функции являются одним из методов оптимизации и функцию у=f(x) в данном случае называется целевой функцией.

3. Уточнение характера кривой по 2-ой производной.

С помощью второй производной определяется интервалы выпуклости и вогнутости прямой, а так же точки перегиба.

Определение. Кривая у=f(x) называется выпуклой на интервале , если все точки кривой лежат ниже любой её касательной на этом интервале, за исключение самой точки касания. Для вогнутой кривой на интервале, все точки кривой будут лежат выше касательной, проведенной на этом интервале.

Можно указать, что выпуклая кривая характеристика производной второго порядка. f’’(x) 0 точка перегиба являться, в которой выпуклость заменяется на вогнутость.

С формулируется необходимое и достаточное условие точки перегиба – это наличие критических точек 2-го порядка то есть точек в которых f’’(x)=0 или она там не существует.

Достаточное условие точки перегиба – это смена знака2-ой производной при переходе через точку перегиба. Если знак меняется с минуса на плюс, выпуклость меняется на вогнутость, с плюса на минус вогнутость на выгнутость.

Сводные данные по интервалам выпуклость и вогнутость и точек перегиба так же могут сводиться в таблицу, или можно подрисовать под соответствующей осью.