Рис. 7. Переріз тетраедра
Обмежити поняття можна додаванням до ознак, що складають зміст поняття, окремої ознаки обмежуваного поняття. Окрема ознака обмежуваного поняття є ознака, що відноситься лише до частини об'єктів, які входять в обсяг поняття. Це правило є простим наслідком закону «зворотного відношення».
Обмеження поняття не можна змішувати з уявним розчленуванням (діленням на частини) предмету. Наприклад, якщо перейдемо від поняття «ламана» до поняття «ланка ламаною», ми не обмежимо поняття ламаною, а просто здійснено ділення останньої на частини.
Під час перевірки правильності проведеного обмеження поняття інколи поступають таким чином: перед назвою обмежуваного поняття (А) ставлять назву поняття, отриманого у результаті обмеження (В), і на початку додають слово «всякий» (або «всяка»). Якщо отримане таким чином речення виявиться правильним (всякий квадрат – ромб), то обмеження (ромб – квадрат) проведене правильно, інакше (всяка ланка ламаною – ламана) обмеження (ламана – ланка ламаною) проведене неправильно.
Задача 14. Перевірте, чи правильно обмежені поняття: паралелограм – ромб; конус – основа конуса.
Зразок відповіді. Усякий ромб є паралелограмом. Усяка основа конуса є конусом. У першому випадку обмеження здійснено правильно, у другому – неправильно: основа конуса є елемент конуса, а не вид конуса.
Узагальнення
Узагальнення поняття - логічна операція, зворотна обмеженню. При узагальненні поняття ми переходимо від понять меншого об'єму (менш загальних) до понять більшого об'єму (більш загальних).
Задача 15. Здійсніть узагальнення поняття «квадрат» і покажіть зв'язок узагальнення з обмеженням.
Зразок відповіді. Узагальнення поняття «квадрат» і зв'язок узагальнення з обмеженням надано у схемі 1.
УЗАГАЛЬНЕННЯ
1
Квадрат
7
ОБМЕЖЕННЯ
2
Прямокутник
6
3
Паралелограм
5
4
Опуклий чотирикутник
4
5
Опуклий многокутник
3
6
Плоский многокутник
2
7
Многокутник
1
Схема 1. Зв'язок між узагальненням та обмеженням
Щоб полегшити розв'язання поставленої задачі, інколи варто починати з розгляду окремого випадку (з розгляду аналогічної задачі), для чого замість поняття А беремо поняття В меншого обсягу. Отриманий результат при розв'язанні часткової задачі може дати засоби для розв'язання задачі у загальному вигляді. Може знадобитися декілька подібних переходів від розв'язання менш загальних задач до задач більш загальних, перш ніж прийдемо до розв'язання поставленої задачі. Прикладом може служити обчислення обсягу поняття паралелепіпед. Спочатку розглядається прямокутний паралелепіпед, потім прямий паралелепіпед і вже потім паралелепіпед узагалі.
Узагальнення поняття відбувається шляхом відкидання основних ознак поняття, тобто ознак, що належать всім об'єктам, що входять в обсяг узагальнюваного поняття. При невиконанні цієї умови може вийти уявне з'єднання предметів, а не узагальнення поняття, що ми маємо, наприклад, при переході від поняття «напівпряма» до поняття «пряма». Щоб перевірити, чи правильно здійснено узагальнення поняття, можна розглянути речення «всяке («всякий», «всяка») В є А, де В – початкове поняття, а А – поняття, що отримане у результаті узагальнення. У разі справедливості (помилковості) речення узагальнення здійснено правильно (неправильно). Оскільки не можна сказати, що усяка напівпряма є пряма, то узагальнення «напівпряма» – «пряма» помилкове [8, с.21-22].
Блок ііі. Завдання для самоконтролю
1. Які поняття використовуються в означенні паралелограма?
2. Як у геометрії зазвичай установлюється, що об'єкт, що задовольняє сформульованому означенню, дійсно існує? (Наведіть відповідні приклади).
3. Наведіть приклади математичних понять, які виражаються одним, двома, трьома, чотирма словами.
4. Наведіть приклади термінів, які мають різні поняття.
5. Які ознаки входять у зміст понять:
прилеглі кути,
правильний многогранник?
6. Обсяг якого з двох понять більший? (порівняйте перелічені нижче поняття використовуючи символи « < », « > » або « = »)
а) рівнобедрений трикутник правильний трикутник;
б) неперервна функція монотонна функція;
в) правильний тетраедр правильний многогранник;
г) рівносторонній трикутник правильний трикутник;
д) сектор сегмент;
е) прямокутник рівнокутний неправильний чотирикутник.
7. Упорядкуйте поняття так, щоб кожне попереднє поняття було родовим відносно наступного (за допомогою чисел):
а) ромб, випуклий чотирикутник, випуклий многокутник, паралелограм, квадрат;
б) призма, куб, многогранник, паралелепіпед, чотирикутна призма, правильний паралелепіпед, прямокутний паралелепіпед;
в) правильний трикутник, многокутник, рівнобедренний трикутник, трикутник.
8. Представте схематично у вигляді схеми-діаграми Ейлера-Венна співвідношення між обсягами наступних понять:
а) невід’ємне число, недодатне число;
б) гострий кут, тупий кут.
а)
б)
в) раціональне число, ірраціональне число;
г) трапеція, арифметична прогресія;
в)
г)
д)ромб, випуклий чотирикутник, прямокутник, трапеція, випуклий многокутник, паралелограм, квадрат;
є) паралелограм, трапеція, прямокутник, чотирикутник, ромб, квадрат.
д)
є)
ж) многокутник, трикутник, прямокутний трикутник, рівнобедрений трикутник, рівносторонній трикутник, комплексні числа.
ж)
9. Використовуючи слова: «всі», «деякі», «кожен», укажіть відношення за обсягом між наступними поняттями:
а) прямокутний трикутник, рівнобедрений трикутник;
б) прямокутник, квадрат.
10. Перерахуйте суттєві ознаки понять «паралелограм», «координатна пряма», «кут», «ромб», «прямокутний трикутник», «піраміда».
Суттєві ознаки, поняття «паралелограм»
Суттєві ознаки поняття «координатна пряма»
Суттєві ознаці, поняття «-кут»
Суттєві ознаки, поняття «ромб»
Суттєві ознаки поняття «прямокутний трикутник»
11. Відносно деякої фігури X відомо, що вона володіє всіма наступними властивостями.
1) фігура - опуклий чотирикутник;
9) діагоналі, перетинаючись, діляться навпіл;
2) сума кутів дорівнює 360°;
10) діагоналі ділять кути навпіл;
3) протилежні кути попарно рівні;
11) фігура має дві осі симетрії;
4) сума кутів, прилеглих до кожної сторони, рівна 180°;
12) діагоналі є осями симетрії;
5) протилежні сторони попарно рівні;
13) фігура має центр симетрії;
6) усі сторони рівні;
7) протилежні сторони попарно паралельні;
14) точка перетину діагоналей є центром симетрії;
8) діагоналі взаємно перпендикулярні;
15) сума зовнішніх кутів дорівнює 3600.
а) Що можна сказати про цю фігуру? Що це за фігура?
б) Із вище перерахованих властивостей геометричної фігури вкажіть ті, які належать:
тільки паралелограму;
тільки прямокутнику;
усім чотирикутникам;
усім многокутникам?
в) Чи існує фігура, що володіє властивостями 1 і 10 і не володіє властивістю 8?
12. Перерахуєте властивості квадрата. Наведіть не менше 12 властивостей:
13. Для понять «радіус кола», «медіана трикутника», «взаємно перпендикулярні площини», «рівняння», «лінійна функція» запропонуйте еквівалентні (тотожні) означення.
еквівалентні означення поняттю «радіус кола»:
еквівалентні означення поняттю «медіана трикутнику»:
еквівалентні означення поняттю «взаємно перпендикулярні площини»:
еквівалентні означення поняттю «рівняння»:
еквівалентні означення поняттю «лінійна функція»:
14. Для наведених нижче означень понять виділіть термін, що визначається, родове поняття та видові ознаки.
а) «Числа, що можна записати у вигляді звичайного дробу, називають раціональними».
Термін:
Родове поняття:
Видові ознаки:
б) «Арифметичним квадратним коренем із числа а називають невід'ємне число, квадрат якого дорівнює а ».
Термін:
Родове поняття:
Видові ознаки:
в) «Дві прямі на площині називаються паралельними, якщо вони не перетинаються».
Термін:
Родове поняття:
Видові ознаки:
г) «Хорда, що проходить через центр кола, називається діаметром».
Термін:
Родове поняття:
Видові ознаки:
15. Підберіть зі шкільних підручників математики по 2 означення математичних понять кожного виду.
Конструктивні (генетичні) означення
Умовні узгодження
16. Серед наведених означень укажіть неправильні та некоректні. Для неправильних означень наведіть контрприклади та сформулюйте правильне означення. Для некоректного означення сформулюйте коректне означення.
1) «Діаметром кола називається найбільша хорда, що проходить через центр».
2) «Медіаною трикутника називається відрізок, що ділить його сторону навпіл».
3) «Паралелограм — це многокутник, у якого сторони попарно паралельні».
4) «Паралелограм — це чотирикутник, у якого сторони попарно паралельні і рівні».
5) «Паралелограмом називається чотирикутник, у якого дві протилежні сторони паралельні».
6) Ромбом називається квадрат з непрямими кутами.
7) «Ромбом називається чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні, а дві суміжні сторони рівні».
Порочне коло може відноситися не до окремого означення, а до двох або декількох означень. Наприклад, у двох означеннях: «Кут називається прямим, якщо його сторони взаємно перпендикулярні» і «Дві прямі взаємно перпендикулярні, якщо вони утворять прямий кут» - мається порочне коло, тому що в першому реченні поняття прямого кута визначається через перпендикулярні прямі, а в другому - це поняття визначається через перше.
Евристично зорієнтована система вправ
АНАЛОГІЯ
1. Зі шкільного курсу планіметрії відоме означення поняття діаметру кола, як хорди, що проходить через центр. За аналогією з цим у стереометрії вводиться поняття діаметру кулі. Запропонуйте його.
2. За аналогією з поняттям кута між двома променями введіть поняття кута між двома півплощинами
3. За аналогією з означенням паралельності двох прямих сконструюйте означення понять паралельності площин або паралельності прямої і площини.
4. Знаючи означення дотичної до кола, за аналогією сформулюйте означення дотичної площини до кулі.
5. Учень за аналогією з поняттям гострокутного трикутника запропонував означення: «Опуклий чотирикутник, усі кути якого гострі, називається гострокутним». Якій обов'язковій для усіх означень спільній вимозі не задовольняє запропоноване означення?
КОНТРПРИКЛАД
6. До нижче поданих неправильних означень наведіть можливі контрприклади та дайте коректне означення кожному поняттю.
Відстанню від точки до прямої називається довжина відрізка, проведеного з даної точки на пряму.
Контрприклад:
Означення:
Центральним кутом у колі називається плоский кут у колі.
Контрприклад:
Означення:
Функція називається зростаючою, якщо кожному наступному значенню аргумента відповідає більше значення функції.
Контрприклад:
Означення:
Дотична — лінія, яка має спільну точку с колом.
Контрприклад:
Означення:
Циліндром називають тіло, яке складається з двох кругів і відрізків, що з'єднують ці круги.
Контрприклад:
Означення:
Будь-яке число, на яке ділиться дане натуральне число, називається дільником даного числа.
Контрприклад:
Означення:
ПОРІВНЯННЯ
7. Знайдіть спільні властивості:
трапеції і ромба,
трикутника і паралелограма,
прямокутника і кола.
8. Назвіть властивості, які є спільними для усіх опуклих многокутників.
9. Укажіть спільні властивості многокутників, у яких протилежні сторони попарно паралельні.
10 Укажіть ознаки схожості і відмінності понять:
паралельні прямі та прямі, що схрещуються;
паралельні прямі та прямі, що перетинаються.
11. Які додаткові властивості має
рівносторонній трикутник у порівнянні з рівнобедреним;
прямокутний паралелепіпед у порівнянні з прямим?
12. Яких властивостей немає у прямої призми у порівнянні з правильною?
13. Чим відрізняється ортогональна проекція від паралельної?
14. Які спільні властивості у симетрії, паралельного перенесення, повороту?
15. Що спільного у властивостях гомотетії і подібності? Чим вони відрізняються? У чому причина спільності властивостей?
16. Порівнюючи призму і піраміду, вкажіть усі спільні властивості, усі відмінні властивості, мету порівняння, зробіть висновки.
Спільні властивості:
Відмінні властивості
Призма Піраміда
1.
Бокові грані:
1.
Бокові грані:
2.
Основи:
2.
Основи:
3.
Висота:
3.
Висота:
4.
Діагоналі:
4.
Діагоналі:
5.
Вершина:
5.
Вершина:
6.
Об'єм:
6.
Об'єм:
7.
Площа бокової поверхні:
7.
Площа бокової поверхні:
Мета порівняння:__________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
Висновки:__________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
17. Порівняйте фігури, що зображені на рис. 9.
Чи є у них однакові властивості? Які це властивості?
Чи є властивості, що належать лише частині фігур? Які це властивості?
Якими властивостями відрізняються фігури 1 і 3
Якими властивостями відрізняються фігури 2 і 5?
1
2
3
6
5
4
Рис.9 Порівняння фігур
Один із способів навчання умінню порівнювати – встановлення родо-видових відношень між поняттями.
18. Вставте пропущене слово:
трикутник відноситься до фігури як парабола відноситься до
прямокутник відноситься до квадрата як одночлен відноситься до _______________________
3) зростаюча функція відноситься до спадної функції як неперервна функція від носиться до .
чотирикутник відноситься до площі як паралелепіпед відноситься до _____________
коло відноситься до довжини кола як трапеція відноситься до ___________________________
6) правильний чотирикутник відноситься до квадрату як правильний многогран- ник відноситься до (але не куба).
Узагальнення
19. Здійсніть узагальнення понять: трапеція, многокутник, паралелепіпед.
20. Що спільного у рівняннях виду
ПЕРЕФОРМУЛЮВАННЯ
21. Про які відомі Вам поняття йде мова у наступних реченнях:
многокутник із найменшим числом сторін _______________________________________;
найбільша хорда кола ________________________________________________________;
трикутник, що має осі симетрії _________________________________________________;
многогранник з найменшим числом граней ______________________________________;
чотирикутник, що має центр симетрії ___________________________________________;
хорда, що проходить через центр кола ___________________________________________;
рівносторонній чотирикутник, один з кутів якого прямий ___________________________;
чотирикутник, що має чотири вісі симетрії _______________________________________;
чотирикутник, що має центр симетрії і рівні діагоналі ______________________________;