
- •Повна індукція
- •Приклад №1
- •Приклад №2
- •Приклад №3
- •Неповна індукція
- •Приклад №1
- •Історична довідка. Метод математичної індукції
- •Неповна індукція і метод математичної індукції в прикладах і задачах на обчислення сум, добутків Приклад №1
- •Приклад №2
- •Узагальнення методу математичної індукції
- •Приклад №1
- •Приклад №2
- •Деякі відомі визначні нерівності і метод математичної індукції Приклад №1.
- •Приклад 2
- •Задачі на подільність чисел і метод математичної індукції Приклад №1
- •Приклад №2
- •Приклад №3
- •Приклад №4
- •Приклад №5
- •Приклад №6
- •Приклад №7
- •Приклад №8
- •Приклад №9
- •Приклад №10
- •Доведення деяких рівностей і тотожностей
- •Приклад №2
- •Приклад №3
- •Висновок
- •Cписок літератури
«Розуміння і вміння застосовувати принцип математичної індукції
є добрим критерієм зрілості, яка цілковито необхідна математику»
А.М. Колмогоров
Вступ
Метод математичної індукції застосовується в найрізноманітніших областях математики і не тільки. Оскільки цей метод по суті пов’язаний з поняттям числа, то найчастіше він застосовується в арифметиці, алгебрі і теорії чисел. Проте поняття цілого числа є основним не тільки в цих розділах математики, а й, наприклад, в геометрії, тригонометрії. Зокрема, застосування цього методу в геометрії особливо цікаві і ефективні.
За індукцією не тільки зручно проводити доведення, а і давати деякі означення.
Наприклад. Нехай є деяка людина А. Її родичами першого порядку назвемо її батьків і дітей. Якщо визначені родичі k-го порядку, тоді родичами (k+1) порядку для А назвемо родичів першого порядку для родичів А k-го порядку, які не є родичами А меншого порядку. Наприклад, брати та сестри при такому означенні є родичами другого порядку.
Індуктивні визначення мають важливу роль у таких науках, як математична логіка і математична лінгвістика. Доведення за індукцією міцно ввійшли у математичну діяльність. Існує велика кількість модифікацій методу, орієнтованих на різні застосування.
Розглядають повну і неповну індукцію.
Метою курсової роботи є дослідження різних видів задач, які роз’язуються методом математичної індукції.
Об’єктом є задачі, які роз’язуються методом математичної індукції.
Предметом є аналіз і систематизація основних властивостей математичної індукції , на конкретних прикладах задач.
Структура курсової роботи. Курсова робота складається із вступу, дев’яти розділів, висновку і списку літератури, який складається із 12 джерел.
Повна індукція
Іноді зустрічаються задачі, в процесі розв’язування яких треба розглянути всі можливі випадки, тоді на основі цього можна зробити цілком обґрунтований висновок.
Якщо при доведенні теореми її поділяють на скінчене число тверджень і доводять кожне з них окремо, то такий метод доведення називається методом повної індукції.
Основою методу повної індукції є наступна аксіома логіки:
Якщо
якусь властивість мають всі елементи
множини А і всі елементи множини B і якщо
,
то цю саму властивість має і кожен
елемент множини M.
Наведемо приклади доведень за допомогою методу повної індукції.
Приклад №1
У 1742 р. член Петербурзької Академії наук Х. Гольдбах у листі до Леонарда Ейлера висловив гіпотезу, що кожне парне число, більше від 2, можна подати як суму двох простих чисел. Ця гіпотеза досі не доведена і не спростована. Але, якщо обмежитись числами, меншими від певного числа, то таке твердження можна довести.
Доведення.
Доведемо,
наприклад, що всяке парне число, яке
задовольняє нерівність
,
можна представити у вигляді суми двох
простих чисел. Оскільки таких чисел
скінчене число, то це твердження можна
довести методом повної індукції,
розглянувши всі можливі випадки:
4=2+2; 10=3+7; 16=5+11; 22=5+17; 28=5+23;
6=3+3; 12=5+7; 18=5+13; 24=7+17; 30=7+23;
8=3+5; 14=3+11; 20=3+17; 26=13+13; 32=29+3.
Твердження доведено.
Приклад №2
Довести, що коли n – довільне число, то серед трьох чисел n, n+10, n+14 обов’язково є число, яке ділиться на 3.
Доведення.
Зазначимо, що довільне число n або ділиться на 3, або дає при діленні на 3 остачу, що дорівнює 1 або 2.
n=3k або n=3k+1, або n=3k+2. Тому розглянемо відповідні три випадки:
1)
n=3k, тобто
,
де k – натуральне число.
У цьому випадку твердження виконується – одне з чисел (число n) ділиться на 3;
2) n дає при діленні на 3 остачу 1, тобто n=3k+1.
Тоді
,
твердження виконується;
3) n дає при діленні на 3 остачу 2, тобто n=3k+2.
Тоді
n+10=3k+2+10=3k+13=3(k+4)3.
Отже, в усіх можливих випадках одне з даних чисел ділиться на 3 і тому твердження доведено.
Приклад №3
Довести,
що при кожному цілому n число
.
Доведення.
n-n2=(n-1)n – це добуток двох послідовних цілих чисел. Одне з них обов’язково парне і ділиться на 2.
Кожне ціле число n при діленні на 2 дає остачу 0 або 1:
1)
Якщо остача r=0, то n=2k,
.
2) Якщо остача r=1, тоді n=2k+1
n-1=2k+1-1=2k.
Отже,
.
Інших випадків немає. Отже, яким би не
було ціле число n, один із співмножників
n, n-1, а тоді їх добуток
ділиться на 2.
Неповна індукція
Інколи загальний висновок можна зробити після розгляду не всіх можливих випадків, а тільки деяких. Таке міркування не є строгим доведенням і називається неповною індукцією.
Результат, одержаний неповною індукцією, це гіпотеза, яка вимагає строгого доведення. Наведемо декілька прикладів.
Приклад №1
Знайти формулу для обчислення суми перших n натуральних чисел S(n)=1+2+3+4+5+…+n;
Розглянемо частинні випадки:
n=1 1=1,
n=2 1+2=3,
n=3 1+2+3=6,
n=4 1+2+3+4=10,
n=5 1+2+3+4+5=15.
Очевидно
можна зробити припущення, що сума перших
n членів натурального ряду
S(n)=1+2+3+4+5+…+n=.
Доведемо цю гіпотезу одержану в результаті неповної індукції методом математичної індукції.
Доведення.
При n=1 , 1=
=1. Рівність має місце.
Припустимо, що вона має місце і при n=k тобто S(k)=1+2+3+4+5+…+k=
.
Виходячи
із цього припущення, доведемо, що воно
істинне і для n=k+1 тобто, що S(k+1)=.
Запишемо S(k+1)=S(k)+(k+1).
Враховуючи
припущення, маємо S(k+1)=+k+1=
=
.
Робимо висновок, що формула вірна і при n= k+1.
Тоді
за припущенням математичної індукції
вона вірна і для будь-якого натурального
n. S(n)=1+2+3+4+5+…+n.