7.2 Обнаружение ошибок в кодах Хемминга

Ошибка на выходе из канала связи может быть обнаружена и исправлена только в случае ее появления в информационных членах (для построенного кода – не больше одной в каждом элементарном коде). Даже при появлении ошибки в контрольных членах ее обнаружение возможно. Номер позиции S(записанный в двоичной системе), в которой произошла ошибка, определяется так:

S = S_k… S₂ S₁ ,

где S_iопределяется по формулам (4.4) для элементарного кода, полученного на выходе канала связи. Если ошибки нет, тоS_i= 0 и общий результатS= 0.

Пример:Пусть на вход канала связи поступил элементарный код 0110011 (т.е закодировано **1*011 (поз. 3,5,6,7 – контрольные члены заменены * )). На выходе получено 0110001 (искажен 6–й член элементарного кода). ВычислимS.

S₁ = ₁ + ₃+ ₅ + ₇ = 0 + 1 + 0 + 1 = 0 ( mod 2),

S₂ = ₂ + ₃+ ₆ + ₇ = 1 + 1 + 0 + 1 = 1 (mod 2),

S₃ = ₄ + ₅ + ₆ + ₇ = 0 + 0 + 0 + 1 = 1 (mod 2).

S = 1 1 0 = 6 (в десятичной системе).

Пусть на выходе получено 0111011 (искажен 4–й (контрольный) член элементарного кода).

S₁ = ₁ + ₃+ ₅ + ₇ = 0 + 1 + 0 + 1 = 0 ( mod 2),

S₂ = ₂ + ₃+ ₆ + ₇ = 1 + 1 + 1 + 1 = 0 (mod 2),

S₃ = ₄+ ₅ + ₆ + ₇ = 1 + 0 + 1 + 1 = 1 (mod 2).

S = 1 0 0 = 4 (в десятичной системе).

7.3 Декодирование

После получения закодированного сообщения происходит его разбивка на элементарные коды, вычисление для каждого кода S и в случае его неравенства 0 – корректировка соответствующего информационного члена (еслиSуказывает на контрольный член, то корректировка не нужна). После удаления всех контрольных членов получаем исходное сообщение.

Примечание:Рассмотрено построение кодов Хемминга для бинарного кодирования и числе ошибок в элементарных кодах не более одной. Существует теория для построения таких кодов для равномерного кодирования любой арности и числе ошибок не более 2, 3,… и. д.

Пример решения задачи разработки кода Хемминга

Пример:

Разработать самокорректирующийся код (код Хэмминга) в соответствии с вариантом для бинарных слов длины m= 9 и привести примеры декодирования искаженных элементарных кодов (для всех вариантов – источник помех может исказить не более одной позиции элементарного кода).

Р Е Ш Е Н И Е

1Определим длинуlэлементарных кодов

2^k–1 ≤l , а2^k l+1, где l = m + k (по условию задачиm = 9 )

Оба неравенства выполняются для k= 4 ( 8 ≤ 13, 1613), т.е для 10 информационных членов понадобятся 4 контрольных членов в элементарных кодах, общая длина которых будет равна 14.

2Контрольные члени элементарного кода будут вычисляться так:

Ряд 1 ₁ = ₃+ ₅ + ₇ + ₉ + ₁₁ + ₁₃ (mod 2),

Ряд 2 ₂ = ₃+ ₆ + ₇ + ₁₀ + ₁₁ (mod 2

Ряд 3 ₄= ₅+ ₆ + ₇ + ₁₂ + ₁₃ (mod 2),

Ряд 4 ₈= ₉+ ₁₀ + ₁₁ + ₁₂ + ₁₃ (mod 2),

3Пример кодирования исходного элементарного сообщения (длина 10 позиций т.еm= 10)

В таблице ниже приведен пример определения контрольных членов элементарного кода (контрольный член равен 1, если число единиц соответствующего ему ряда нечетно и 0 – если четно). Значения контрольных членов выделены курсивом.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
1	1	1	0	1	0	1	1	0	0	1	1	1
1		1		1		1		0		1		1
	1	1			0	1			0	1
			0	1	0	1					1	1
							1	0	0	1	1	1

4Пример корректировки искаженного в одной позиции элементарного кода (пусть в процессе передачи по каналу связи элементарный код, представленный в строке 2 предыдущей таблицы искажен в позиции 5 вместо 1 получен 0 )

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	Si
1	1	1	0	0	0	1	1	0	0	1	1	1
1		1		0		1		0		1		1	1= S1
	1	1			0	1			0	1			0= S2
			0	0	0	1					1	1	1= S3
							1	0	0	1	1	1	0= S4

В результате подсчета кода ошибки получен следующий результат:

S = S_k… S₂ S₁ = 0101 (в бинарном представлении), что соответствует 5 (т.е. ошибка в позиции 5 и для корректировки нужно 0 (поз. 5) заменить на 1). Результат восстановления приведен ниже.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
1	1	1	0	1	0	1	1	0	0	1	1	1

Осталось удалить контрольные биты в позициях 1,2,4,8.

Лекция 8