7 Самокорректирующиеся коды

В предыдущей лекции рассмотрено алфавитное кодирование (т.е. каждой букве входного алфавита присваивался элементарный код B_i). Пусть{A₁,A₂ ,A₃,…A_s} – некоторое конечное подмножество попарно различных слов в алфавитеI, имеющих одинаковую длинуm. Такая ситуация может возникнуть, когда, например, выполнено предварительное алфавитное бинарное кодирование информации (сообщение состоит из цепочки 0 и 1). Если такую цепочку разбить, начиная с начала или конца, на участки одинаковой длины, кратные степени двойки (8, 16, 32 …), то вариантов таких участков будет конечное множество. Это дает возможность создать словарь{A₁,A₂ ,A₃,…A_s} (гдеs=2^m) и передавать, запоминать не само сообщение, а последовательность ссылок на номера слов в словаре. Если предварительное кодирование осуществлялось бинарными элементарными кодами одинаковой длины, то такое кодирование в смысле уменьшения длины закодированного сообщения ничего не дает. Однако такой подход дает возможность строить коды, которые могут сами исправлять ошибки, возникающие от помех в линиях связи.

Очевидно, что каждое слово сообщения A допускает разложение видаA =A_i1,A_i2 ,A_i3,…A_in, и имеет единственное такое разложение. Если ограничиться предварительным бинарным кодированием, тоA_i=₁ ₂ ₃….._mномера слов в словаре, записанные в двоичной системе (_i принимает значения 0 или1). Необходимо отметить, что каждый двоичный номер слова может быть однозначно записан и десятеричным числом.

Пусть S”( I) – подмножество всех слов, допускающих разложение указанного вида. Рассмотрим следующую схему кодирования:

A₁ B₁

A₂ B₂

A₃ B₃ (7.1)

….

A_s B_s ,

где B_i = ₁ ₂ ₃ …_l – элементарные двоичные коды, имеющие одинаковую длинуl = m + k , при этом такие, чтобы по коду, полученному на выходе канала связи (помеха может изменить 0 на 1 или наоборот, но не может добавить или убрать элемент_i) однозначно восстановить код на входе канала и из него получить исходное сообщение.

Построение самокорректирующихся кодов было осуществлено Хеммингом. Рассмотрим случай, когда источник помех может внести не более одного инвертирования в элементарный код B_i (р=1 ). Вариантов получения элементарного кодаB_i будетl +1 (правильный иl штук с инвертированием_iна каждой позиции). Для того, чтобы дополнительных разрядов в кодеB_iхватило для кодированияl +1 случаев, необходимо выполнение следующего условия:

2^m ≤ 2^l / (l + 1) (7.2)

Из этих соображений выбираем как наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству (7.2).

Дальнейшее построение будет состоять из трех этапов:

1. Построение кодов Хемминга (описание алгоритма кодирования).

2. Обнаружение ошибок в кодах Хемминга.

3. Декодирование.

7.1 Построение кодов Хемминга (описание алгоритма кодирования)

В множестве натуральных чисел {1,2,3,…, l }выделим следующие подмножества:

1, 3, 5, 7, 9 ….(содержатся все числа, у которых при переводе в двоичную запись в последнем разряде 1);

2, 3, 6, 7, 10 ….(содержатся все числа, у которых при переводе в двоичную запись в предпоследнем разряде 1);

. . . . . . . . . .

2^k–1, 2^k–1 +1, ….(содержатся все числа, у которых при переводе в двоичную запись вk–ом, считая справа, разряде 1).

Наименьшие члены этих подмножеств являются степенями 2: 1 = 2⁰; 2 = 2¹;

4 = 2²;…., причем2^k–1 ≤l , а2^k+1 l+1.

Члены _iнабора₁ ₂ ₃ …_l, у которых индексiпринадлежит множеству {1, 2, 4,… 2^k–1}, называются контрольными членами, остальные – информационными. Таким образом, контрольных членов будетk, а информационныхl – k= m. Сформулируем правило построения набора…_lпо набору₁ ₂ ₃….._m.

Сначала определяются информационные члены:

₃ = ₁

₅ = ₂

₆ = ₃

. . . . .

Таким образом, набор информационных членов, расположенных в естественном порядке, совпадает с набором ₁ ₂ ₃….._m. Затем определяются контрольные члены,

₁ = ₃+ ₅ + ₇ + …(mod 2),

₂ = ₃+ ₆ + ₇ + …(mod 2), (7.3)

₄= ₃+ ₆ + ₇ + …(mod 2),

. . . . . . . . . . . . .

значения которых 0 или 1 и помещаются на соответствующих местах в элементарных кодах B_i. По сути, создается кодовый словарь для схемы кодирования (4.1), в котором для каждого элементарного кода выполняются следующие условия (суммирование поmod 2):

₁ + ₃+ ₅ + ₇ + …= 0,

₂ + ₃+ ₆ + ₇ + …= 0, (7.4)

₄ + ₃+ ₆ + ₇ + …= 0,

. . . . . . . . . . . . .

(количество единиц в позициях элементарного кода, определяемых индексами, четно).