Отношение равносильности формул

Определение. Формулы А и В называются равносильными, если во всех интерпретациях формул А и В, содержащих все атомы формул А и В, истинностные значения этих формул совпадают. Равносильность формул А и В обозначается А≡В. Очевидно, что равносильные формулы имеют одинаковые истинностные таблицы, и наоборот, если истинностные таблицы формул совпадают, то они равносильны.

Пример: PQ≡ ¬PQ.

Отношение равносильности формул А и В является отношением эквивалентности (А~В):

а) А≡А для любой формулы А (рефлексивность),

б) если А≡В, то B≡A для любых формул А и В (симметричность),

в) если А≡В и В≡С, то А≡С для любых формул А, В, С (транзитивность).

Поэтому множество всех формул разбивается на классы эквивалентности — классы равносильных формул. Все формулы из одного класса характеризуются одной и той же истинностной таблицей.

Истинностные функции

В каждой своей интерпретации формула принимает одно из двух истинностных значений — И или JI. Другими словами, формула задает функцию вида:

{И, Л} ^п →{И, Л}.

Определение. Функция вида {И, Л}ⁿ→{И, Л} называется n-местной истинностной функцией или функцией алгебры высказываний.

Две равносильные формулы определяют одну и ту же истинностную функцию. Следовательно, истинностные функции можно рассматривать как характеристики классов равносильных формул.

Исходя из данного набора п атомов можно составить счетное множество формул. Однако все эти формулы описывают лишь конечное множество истинностных функций.

Например одноместных истинностных функций — 4 ()

x	f1	f2	f3	f4
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1
	0	x		1

двухместных истинностных функций — (0 – истина, 1 – ложь):

x1	x2	f1	f2	f3	f4	f5	f6	f7	f8	f9	f10	f11	f12	f13	f14	f15	f16
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1

Та же таблица в обозначениях {И, Л}:

P

Q

F0

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

F9

F10

F11

F12

F13

F14

F15

И

И

И

И

И

И

И

И

И

И

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

И

Л

И

И

И

И

Л

Л

Л

Л

И

И

И

И

Л

Л

Л

Л

Л

И

И

И

Л

Л

И

И

Л

Л

И

И

Л

Л

И

И

Л

Л

Л

Л

И

Л

И

Л

И

Л

И

Л

И

Л

И

Л

И

Л

И

Л

И

РQ

РQ

Л

Задание: заполнить нижнюю строку полностью.

Теорема. Число п-местных истинностных функций равно

□Существует 2^п различных наборов значений п атомов. Любая истинностная функция с каждым из этих наборов сопоставляет одно из двух истинностных значений — И или Л. Значит, истинностных функций столько, сколько можно составить различных наборов из И или Л длины 2. Но всякий такой набор есть размещение с повторениями из двух элементов (И или Л) по 2^п. А таких размещений с повторениями имеется . Значит, различныхп-местных истинностных функций существует .■