Ангем. 1 курс (слайды + вопросы) / Вопросы 2 семестр

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, 2 семестр

ММФ 1 курс 2 поток (2012/13); лектор: доц. А.А.Егоров (yegorov@math.nsc.ru) Вопросы к экзамену

Глава 4 (окончание).

4.5. Лемма о двойном векторном произведении (правило «бац минус цаб»)[4.66]. Лемма о формуле Лагранжа[4.67]. Лемма о тождестве Якоби[4.68]. Формулы для вычисления расстояния от точки до прямой[4.70] и расстояния между скрещивающимися прямыми [4.71].

4.7. Формулы для вычисления длины диагонали, объѐма и синусов двугранных углов параллелепипеда в ориентированном трѐхмерном евклидово векторном пространстве. Теорема синусов сферической тригонометрии.

4.8. Формула перехода для прямоугольных систем координат[4.72]. Линейная ортогональная замена переменных[4.73]. Группы ортогональных матриц. Коммутативность умножения в SO(2)[4.74].

Глава 5.

5.1. Алгебраические кривые второго порядка[5.1]. Теорема о преобразовании уравнения второй степени двух переменных к простейшему виду[5.4]. Классификация кривых второго порядка[5.5]. Канонические уравнения, названия[5.6] и канонические системы координат для кривых на евклидовой плоскости, заданных уравнением второй степени.

5.2. Фокусы, эксцентриситет, директрисы, оси, центр, вершины эллипса[5.8]. Фокусы, эксцентриситет, директрисы, асимптоты, оси, центр, вершины гиперболы[5.9]. Фокальное свойство эллипса и гиперболы (док-во для эллипса)[5.10].

5.3. Фокус, эксцентриситет, директриса, ось, вершина параболы[5.12]. Директориальное свойство эллипса, гиперболы и параболы (док-во для гиперболы)[5.13].

5.4. Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе. Фокальный радиус[5.15]. Оптическое свойство эллипса, гиперболы и параболы (док-во для параболы)[5.16].

5.5. Диаметр, сопряжѐнный данному направлению[5.19], для эллипса, гиперболы и параболы. Сопряжѐнные диаметры[5.20] для эллипса и гиперболы. Параметрическое уравнение эллипса. Теорема Аполлония[5.21]. Уравнение гиперболы в асимптотах. Площадь параллелограмма с вершиной на гиперболе и с двумя сторонами на еѐ асимптотах.

5.6. Полярная система координат[5.22]. Фокальная полярная система координат. Уравнения кривых второго порядка в фокальной полярной системе координат.

Глава 6.

6.1. Линейные отображения векторных пространств[6.1]. Ядро линейного отображения[6.2]. Нулевое отображение и тождественное отображение[6.3]. Лемма об образе и прообразе линейного подпространства при линейном отображении (док-во п. 2)[6.5]. Лемма об инъективности линейного отображения[6.7]. Теорема о сумме размерностей ядра и образа линейного отображения[6.10].

6.2. Теорема о формуле линейного отображения[6.11]. Матрица линейного отображения[6.12]. Матрица нулевого отображения и матрица тождественного отображения[6.17].

6.3. Аффинные отображения аффинных пространств[6.20]. Индуцированное отображение [6.21]. Лемма об индуцированном отображении композиции[6.22]. Критерий аффинности отображений[6.23]. Линейная часть аффинного отображения[6.24]. Постоянное отображение, тождественное отображение, параллельный перенос, гомотетия, отображение центральной симметрии и отображение симметрии относительно подпространства и их индуцированные отображения[6.26]. Лемма об образе и прообразе аффинных подпространств при аффинном отображении (док-во п. 1)[6.28]. Теорема о композиции аффинных отображений[6.30]. Теорема об обратном к аффинному отображению[6.31].

6.4. Теорема о размерности образа аффинного отображения[6.32] и еѐ следствие о размерности образа аффинного подространства при аффинном отображении[6.33]. Отображения, сохраняющие прямолинейное расположение точек[6.35]. Отображения Дарбу[6.36]. Теорема Дарбу (без док-ва)[6.37].

6.5. Теорема о формуле аффинного отображения[6.40]. Матрица аффинного отображения[6.42]. Формулы известных отображений[6.45]. Лемма об изменении формулы аффинного отображения при переходе к другим аффинным системам координат[6.47]. Неподвижные точки аффинного отображения[6.48]. Уравнение для неподвижных точек. Неподвижные точки для известных отображений[6.49].

6.6. Аффинные преобразования[6.51]. Примеры аффинных преобразований[6.52]. Лемма о невырожденности матрицы аффинного преобразования[6.54]. Лемма о независимости определителя матрицы аффинного преобразования от выбора аффинной системы координат[6.56]. Лемма об отношении объѐмов невырожденных параллелепипедов при аффинных преобразованиях[6.57]. Собственные и несобственные аффинные преобразования[6.59]. Получение одной аффинной системы координат из другой с помощью аффинного преобразования.

6.7. Изометрические отображения метризованных аффинных пространств. Две леммы о свойствах деления отрезка в заданном отношении[6.61][6.62]. Теорема об аффинности изометрий[6.63]. Теорема об ортогональности матрицы изометрического преобразования[6.64].

6.8. Поворот[6.66]. Лемма о формуле поворота[6.65]. Теорема о собственных изометрических преобразованиях плоскости[6.67]. Преобразование скользящей симметрии[6.68]. Теорема о несобственных изометрических преобразованиях плоскости[6.69].

6.9. Винтовое движение[6.71]. Лемма о собственном векторе для собственного изометрического преобразования трѐхмерного пространства[6.70]. Теорема о собственных изометрических преобразованиях

трѐхмерного пространства[6.72]. Лемма о собственном векторе для несобственного изометрического преобразования трѐхмерного пространства[6.73]. Теорема о несобственных изометрических преобразованиях трѐхмерного пространства[6.74].

Глава 7.

7.1. Мультииндекс, его длина и порядок[7.1]. Каноническая форма записи многочлена[7.2]. Степень многочлена[7.4]. Теорема Безу (без док-ва)[7.8]. Лемма об однозначной определѐнности многочлена своими значениями (без док-ва)[7.10]. Лемма о задании функции многочленом[7.12]. Определение алгебраической функции[7.13]. Степень алгебраической функции[7.15]. Теорема об ограничении алгебраической функции на аффинное подпространство[7.16].

7.2. Поверхность уровня[7.18]. Алгебраическая поверхность[7.20]. Задание алгебраической поверхности алгебраическим уравнением. Порядок алгебраической поверхности[7.22]. Примеры алгебраических поверхностей (аффинное пространство, пустое множество, гиперплоскость, окружность) и их порядки[7.23]. Теорема о пересечении алгебраической поверхности с аффинным подпространством[7.24]. Предложение об алгебраических поверхностях конечного порядка на прямой[7.25]. Следствие о пересечение прямой с алгебраической поверхностью[7.26]. Допустимая алгебраическая поверхность[7.27]. Порядок алгебраической кривой, состоящей из двух окружностей[7.28].

7.3. Лемма о вещественных корнях многочлена (без док-ва)[7.29]. Теорема о делимости многочлена (без доква) и еѐ следствие (теорема единственности) (без док-ва)[7.31].

7.4. Цилиндрические поверхности[7.36]. Теорема о поверхности, заданной независящим от одной переменной уравнением[7.37]. Теорема об уравнении допустимой алгебраической цилиндрической поверхности (без доква)[7.38]. Конические поверхности[7.40]. Теорема о поверхности, заданной однородным уравнением[7.41]. Теорема об уравнении допустимой алгебраической конической поверхности (без док-ва)[7.42]. Поверхности вращения[7.44]. Теорема о поверхности, заданной уравнением ( ) [7.45]. Теорема об уравнении допустимой алгебраической поверхности вращения (без док-ва)[7.46].

Глава 8.

8.1. Упрощение многочлена второй степени при помощи ортогональной замены переменных. Лемма о диагональности матрицы при переходе к базису из собственных векторов[8.1]. Теорема о преобразовании многочлена второй степени к простейшему виду[8.2] и еѐ следствие о задании алгебраической функций второй степени простейшим многочленом[8.3].

8.2. Классификация поверхностей в трѐхмерном евклидово аффинном пространстве, заданных уравнением второй степени. Канонические уравнения[8.5], названия и канонические системы координат для поверхностей в трѐхмерном евклидово аффинном пространстве, заданных уравнением второй степени[8.6].

[8.14]. Лемма о равенстве полуинвариантов[8.15]. Следствие об инвариантности полуинвариантов[8.17].

Теорема об инвариантности полуинвариантов[8.18].

8.6. Теорема об определении простейшего многочлена по инвариантам[8.19].

8.7. Теорема о приведении уравнения второй степени к единственному каноническому уравнению (без доква)[8.20]. Теорема о единственности канонического уравнения для допустимых алгебраических поверхностей и кривых второго порядка (без док-ва)[8.22].

8.8. Инварианты и полуинварианты для случая n = 2. Определение канонического уравнения кривой второго порядка на евклидовой плоскости по инвариантам (таблица с обоснованием одного из случаев). Инварианты и полуинварианты для случая n = 3. Лемма об одинаковости знака для корней многочлена третьей степени[8.24]. Определение канонического уравнения поверхности второго порядка в трѐхмерном евклидово аффинном пространстве по инвариантам (таблица с обоснованием одного из случаев).

8.9. Теорема об аффинной классификации кривых и поверхностей (без док-ва)[8.25]. Метод Лагранжа распознавания поверхности[8.27]. Теорема о метрической классификации кривых и поверхностей (без док-

ва)[8.29].

8.10. Формула приращения алгебраической функции второй степени. Градиент алгебраической функции второй степени[8.31]. Лемма об инвариантности градиента[8.32]. Производная по направлению[8.33]. Формула выражения производной по направлению для алгебраичской функции второй степени через градиент. Геометрический смысл направления и модуля градиента.

8.11. Сходимость последовательностей векторов в конечномерном векторном пространстве[8.34]. Сходимость последовательностей точек[8.35] и лучей[8.36] в конечномерном аффинном пространстве. Касательный луч к поверхности[8.37]. Касательный конус к поверхности в точке[8.37]. Лемма о направлении касательного луча к поверхности, заданной уравнением второй степени[8.38]. Теорема об уравнении касательной гиперплоскости[8.39].

8.12. Определения центра[8.40] и плоскости[8.41] симметрии поверхности второго порядка. Теорема о центре симметрии поверхности второго порядка (без док-ва)[8.41]. Теорема о плоскости симметрии поверхности второго

порядка[8.44]. Гиперплоскости симметрии общего вида и исключительные[8.45]. Описание гиперплоскостей симметрии общего вида.

8.13. Плоскость, сопряженная данному направлению[8.46].

8.14. Классификация направлений для допустимой поверхности: главное, особое, асимптотическое и сопряжѐнные[8.47]. Геометрические свойства направлений. Центральные кривые и поверхности. Прямолинейные образующие[8.48].

8.15. Эллипсоид и его свойства. Лемма о пересечении плоскости с поверхностью второго порядка по окружности (без док-ва)[8.50]. Трѐхосный эллипсоид[8.49] и его круговые сечения.

8.16. Однополостный гиперболоид и его свойства. Горловое сечение. Прямолинейные образующие. 8.17. Конус и его свойства. Плоские сечения конуса вращения.

8.18. Эллиптический параболоид и его свойства.

8.19. Гиперболический параболоид и его свойства. Прямолинейные образующие.

Глава 9.

9.1. Пополнение плоскости[9.2]. Собственные и несобственные пучки прямых[9.1]. Несобственные точки и несобственная прямая[9.2]. Две аксиомы проективной геометрии. Проективная плоскость[9.3]. Инцидентность[9.4]. Принцип двойственности[9.5].

9.2. Связка как модель проективной плоскости. Связка в трѐхмерном пространстве[9.6]. Перспективное соответствие[9.7]. Однородные координаты точки[9.8]. Эквивалентные системы координат[9.9]. Фундаментальные четвѐрки[9.10]. Уравнение прямой в однородных координатах. Координатный критерий принадлежности трѐх точек одной прямой[9.11]. Выполнение принципа двойственности для проективной плоскости в модели связка[9.12]. Теорема Дезарга[9.13].

9.3. Проективные преобразования[9.14]. Координатная запись проективных преобразований. Теорема о сохранении фундаментальности четвѐрок точек при проективных преобразованиях[9.15]. Теорема о существовании проективного преобразования, переводящего одну фундаментальную четверку точек в другую (без док-ва)[9.16].

9.4. Проективно-аффинные преобразования[9.17]. Аффинность сужения проективно-аффинного преобразования на собственные точки[9.18].

9.5. Проективные биекции одной плоскости на другую[9.19]. Центральные проекции[9.20]. Теорема о проективной биективности центральной проекции (без док-ва)[9.21].

9.6. Проективная прямая. Простое отношение трѐх различных точек[9.23]. Двойное отношение четырѐх различных точек[9.24]. Формула двойного отношения в однородных координатах[9.25]. Теорема о независимости двойного отношения от выбора координат[9.26]. Сохранение двойного отношения при проективных преобразованиях[9.27]. Теорема о существовании проективного преобразования прямой, переводящего три различные точки в другие три различные точки[9.28]. Лемма о независимости двойного отношения для точек пересечения прямой с четырьмя прямыми из одного пучка[9.29]. Двойное отношение четвѐрки прямых[9.30]. Теорема о сохранении двойного отношения точек и прямых при проективных преобразованиях[9.31]. Гармонические четвѐрки[9.32]. Полный четырѐхсторонник[9.33]. Теорема о гармоническом сопряжении точек пересечения диагоналей полного четырѐхсторонника с его вершинами[9.34].

9.7. Кривые второго порядка на проективной плоскости[9.35]. Теорема о простейших видах уравнений кривых второго порядка на проективной плоскости[9.36]. Теорема о проективной классификации кривых второго порядка[9.37].

9.8. Невырожденные кривые второго порядка[9.38]. Поляра и еѐ полюс[9.39]. Теорема о соответствии «полюсполяра»[9.40]. Геометрическое описание поляры (теорема)[9.41].