алгебра от Галины Валентиновны / Для студентов Уравнения степени 4

Уравнения степени 4 x4 ax3 bx2 cx d 0

Докажем, что x4 ax3 bx2 cx d можно представить в виде разности квадратов:

, , . Действительно, раскрыв скобки и приводя подобные, получим

жение слева должно быть полным квадратом. Это будет так, если дискриминант квадратного трехчлена, стоящего слева,

обратится в 0. Действительно, B 2 4AC 0 B 2 4AC ,

поэтому Ax 2 Bx C Ax 2 2AC x C Ax C 2

или

Ax 2 Bx C Ax 2 2AC x C Ax C 2 .

Таким образом, достаточно, чтобы было выполнено равенство:

Это уравнение является кубическим и имеет корень в поле .

Пример. Решим уравнение x4 2x3 24x2 26x 143 0 .

Разложим многочлен в левой части уравнения в произведение двух квадратных трехчленов.

x4 2x3 24x2 26x 143 (x2 x )2 ( x )2

2x2 23x2 2x 2 26x 143 ( x )2

Преобразуем:

(2 23)x2 ( 26 2 )x 143 2 ( x )2

Условие наличия двух равных корней есть равенство нулю дискриминанта уравнений в левой части уравнения:

Подставим = 12 в (2 23)x2 ( 26 2 )x 143 2 ( x )2 .

Получим x2 2x 1 ( x )2 . То есть ( x )2 x 1 2 . Поэтому разность квадратов примет вид:

(x2 x 12)2 (x 1)2 0

Разлагаем на множители и решаем два квадратных уравнения

(x2 13)(x2 2x 11) 0

Получаем 4 корня исходного уравнения

.