Аналитическое выравнивание динамических рядов способом наименьших квадратов

Наиболее эффективным способом выявления основной тенденции развития является аналитическое выравнивание (определение тренда). В этом случае фактические урони ряда, заменяются уровнями, вычисленными на основе определенной функции, выбранной в предположении, что она наилучшим образом описывает эмпирические данные. Наиболее часто задача решается с помощью метода наименьших квадратов, когда наилучшим приближением выровненных данных к эмпирическим считается такое, при котором сумма квадратов их отклонений минимальна:

_{На практике часто применяется аналитическое выравнивание по уравнению прямой:}

где — выровненное значение показателя; t — порядковый номер года в динамическом ряду; a_о и а₁ — параметры линейного уравнения.

Параметры прямой, удовлетворяющие методу наименьших квадратов, находятся из решения системы нормальных уравнений:

где Y – фактические уровни ряда; n — число лет ряда динамики.

Для упрощения расчетов центральному значению t придается значение 0, тогда еt = 0. С учетом этого из системы следует, что:



_{Аналитическое выравнивание делает более четким направление тренда и одновременно дает числовую ее характеристику. Так, параметр а1 при выравнивании по прямой – это абсолютный прирост выровненного уровня за единицу времени t, или средний абсолютный прирост с учетом тенденции к равномерному росту (росту в арифметической прогрессии).}

_{Выбор формы кривой для выравнивания осуществляется на основе анализа изучаемого явления и характера его динамики. Если рост происходит в арифметической прогрессии, то для выравнивания используют уравнение прямой. Если наблюдается динамика в геометрической прогрессии, то необходимо пользоваться уравнением кривой более высокого порядка (парабола второго порядка и т.д.).}

Пример выравнивание динамического ряда объектов капитального строительства по способу наименьших квадратов представлен в таблице 2.3.

Таблица 2.3

Расчет параметров трендовой модели

Год	Количество объектов капитального строительства, тыс. Yt	Ранг года t	Уi·t	t2	Yt = а0 +а1t
(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)
1	540	-5	-2700	25	547,0
2	563	-4	-2252	16	584,7
3	626	-3	-1878	9	622,4
4	666	-2	-1332	4	660,1
5	710	-1	-710	1	697,8
6	750	0	0	0	735,5
7	790	1	790	1	773,2
8	810	2	1620	4	810,9
9	842	3	2526	9	848,6
10	880	4	3520	16	886,3
11	913	5	4565	25	924,0
Итого	8090	-	4149	110	Х

По данным таблицы 2.3 и в соответствии с формулой 21 находим:

_{Таким образом, уравнение линейного тренда имеет вид:}

На рисунке 2.5 представлен график выравнивания динамического ряда объектов капитального строительства (ОКС), где ряд 1 – это фактическое значение уровней динамического ряда ОКС, ряд 2 – выровненное значение уровней динамического ряда ОКС.

Для ознакомления со способами наглядного представления результатов статистической обработки студент, используя исходные данные (по вариантам) проводит выравнивание динамических рядов различными методами, определяя общее направление к росту, снижению или стабилизации уровня динамического ряда. По всем показателям строятся графики.

Рис.2.5. График выравнивания динамического ряда объектов капитального строительства

В результате изучения раздела 2.1 студент сможет:

• раскрыть природу выравнивания динамических рядов как базы для определения основной тенденции (тренда) развития отдельно взятого процесса или явления;

• объяснить разные методы механического и аналитического выравнивания, их содержание и направления практического использования;

• на примере выбранных динамических рядов получить практические навыки их выравнивания.