II.3. Компенсационные и апериодические регуляторы

Главной задачей замкнутых систем регулирования является воспроизведение с максимальной точностью заданного сигнала

, (2.16)

т.е. регулятор должен компенсировать инерционность объекта. В случае непрерывной (аналоговой) одноконтурной системы управления (см. рис.1.5.) передаточная функция замкнутой системы при полной компенсации должна представлять безынерционное звено, например, с коэффициентом k_с

.

Приняв для упрощения вывода W_СП(p)=1 и W_Д(p)=1, получим

.

Откуда при k_с  1 выражение для передаточной функции компенсационного регулятора определяется следующим образом

.

Например, для объекта первого порядка

,

где ; .

Т.е. для полной компенсации требуется реализовать идеальное дифференцирующее звено, что на практике не осуществимо. Поэтому требования к компенсационному регулятору необходимо ослабить.

Для общего случая можно записать

, (2.17)

где W_g(p) - желаемая передаточная функция замкнутой системы.

Из (2.17) следует, что

. (2.18)

Передаточная функция W_g(p) должна выбираться из двух противоречивых условий ­­­- возможно более точного воспроизведение задающего сигнала и реализуемости регулятора. Признаком реализуемости непрерывной передаточной функции является выполнение условия

m  n , (2.19)

где m - порядок полинома числителя;

n - порядок полинома знаменателя положительных степеней относительно переменной р.

Учитывая, что при перемножении полиномов их порядки складываются, условие реализуемости компенсационного регулятора согласно (2.18) будет определятся следующим выражением

, (2.20)

где  и  - соответственно порядок числителя и знаменателя желаемой передаточной функции.

Для рассматриваемого примера с объектом первого порядка это условие будет иметь вид

.

Значит, минимальное значение порядков числителя и знаменателя W_g(p), очевидно, будет следующим

 = 0;  = 1.

Т. е. желаемая передаточная функция, как и объект, будет иметь вид звена первого порядка

.

Но, в отличие от объекта, замкнутая система будет иметь большее быстродействие, если задать условие T_g  T_o.

По формуле (2.18) получим

.

Для удовлетворения требования по точности (2.16) в установившемся режиме примем k_g = 1. В этом случае

,

г де ; .

Таким образом получили реализуемый ПИ-регулятор. При T_g  0 обеспечивается приближение к требованию наиболее быстрого воспроизведения задающего сигнала в переходных режимах. Практически минимальное значение T_g ограничивается технической реализуемостью коэффициентов k_П и k_И, величина которых возрастает с увеличением T_g, и помехозащищенностью контура регулирования.

Если объект более высокого порядка, то согласно условию (2.20) соответствующий порядок будет иметь компенсационный регулятор. Задача упрощается, когда модель объекта можно представить в виде последовательно соединенных простейших звеньев с измеряемыми выходными сигналами. В этом случае инерционность каждого звена компенсируется своим регулятором. По этому принципу строятся системы подчиненного (каскадного) регулирования.

Очевидно, что выражение (2.17) справедливо и для одноконтурной дискретной системы (см. рис.1. 5).

, (2.21)

где W_C(z) - дискретная передаточная функция объекта с формирующим звеном.

Из этого выражения следует, что

. (2.22)

Условие реализуемости дискретной передаточной функции определяется также соотношением (2.19), где m и n - порядок полинома числителя и знаменателя положительных степеней относительно переменной z. В противном случае выходной сигнал с выхода дискретного звена будет зависеть от значения выходного сигнала в такты времени, которое еще не поступило, что практически не реализуемо. Следовательно, реализуемость дискретного компенсационного регулятора так же определяется условием (2.20).

Рассмотрим определение W_R(z) так же на примере первого порядка.

В Z-преобразованном виде получим выражение, аналогичное выражению (1.25),

, (2.23)

где ; .

Необходимо отметить, что в дискретной системе на минимальную величину T_g накладывается дополнительное ограничение (2.14), связанное с длительность периода квантования Т.

Подставляя в (2.22) выражения для передаточных функций (1.25) и (2.23), получим

или

,

где ; .

Таким образом, получили дискретный ПИ-регулятор.

Особый интерес в дискретных системах представляет особой вид компенсационных регуляторов, которые обеспечивают апериодическую обработку ступенчатого задающего сигнала за n-тактов, где n - порядок объекта управления. Такие регуляторы называются апериодическими регуляторами.

Передаточная функция объекта совместно с формирователем имеет вид

. (2.24)

Следовательно желаемая передаточная характеристика замкнутой системы регулирования, которая соответствует апериодическому переходному процессу за n тактов, будет определятся следующим выражением

, (2.25)

где .

Убедимся, что при ступенчатом воздействии u_з(k) = const (k = 0,1,2…) переходный процесс закончится за n тактов. В соответствии с (2.24) и (2.25) выходная координата определяется выражением

.

Применив к этому выражению обратное Z-преобразование, получим следующее разностное уравнение

.

Определим y(k) при k=1,2,3…

;

;

…………………………………………………………………….

;

;

……………………………………………………………………..

Учитывая, что u_з(k) – постоянная величина, ее можно вынести за скобки. Из анализа двух последних выражений видно, y(n+1) = y(n), т.е. переходный процесс закончился за n тактов. Подставив из (2.24) выражение для коэффициента q₀, получим, что за это время выходная координата достигает заданного значения

.

Определим передаточную функцию регулятора, который обеспечивает такой апериодический переходный процесс. Подставим в (2.22) выражение для передаточных функций (2.24) и (2.25)

.

После преобразования получим передаточную функцию апериодического регулятора

. (2.26)

В развернутом виде согласно (2.23) и (2.25) получим

, (2.27)

где q₀ = 1/b_i; q_i = q₀a_i; p_i = -q₀b_i, i = 1,2,…,n;

a_i, b_i - коэффициенты передаточной функции объекта управления.

В качестве примера определим апериодический регулятор для объекта первого порядка (1.25). Подставив в (2.27) значение коэффициентов передаточной функции (1.25), определим, что

, (2.28)

где ; ; ; .

Полученная передаточная функция соответствует типовому дискретному регулятору (2.7) при =1, т.е. апериодический регулятор для объекта первого порядка представляет собой дискретный ПИ-регулятор. Отличие регулятора (2.28) состоит в том, что его коэффициенты определены из условия достижения выходной координаты за один такт квантования (в рассматриваемом примере

n = 1). Убедимся в этом, подставив в (2.21) выражения передаточных функций (1.25) и (2.28),

. (2.29)

После элементарных преобразований

. (2.30)

Разностное уравнение, соответствующее этому выражению,

(2.31)

показывает, что величина выходной координаты повторяет задающий сигнал с отставанием на один такт, т.е. при ступенчатом изменении u_з(k) переходный процесс закончится за один такт.

Определим характер изменения управляющего воздействия, поступающего с апериодического регулятора на объект управления. Разностное уравнение, соответствующее передаточной функции апериодического регулятора (2.28), будет иметь вид

. (2.32)

При k=0 согласно (2.31) y(0) = 0, следовательно,

. (2.33)

Или подставляя выражение для q₀ из (2.28), получим

. (2.34)

При k = 1 согласно (2.31) y(1) = u_з(0) = u_з, следовательно,

.

Принимая во внимание (2.31) и (2.34), получим

. (2.35)

На рис.2.3 представлены графики зависимости задающего и управляющего сигналов и выходной координаты. Очевидно, что возможность технической реализации апериодического регулятора с величиной периода квантования. Из (2.34) видно, что при Т0 величина управляющего воздействия u(0)  0. Реально эта величина ограничена определенной величиной u_max. При таком ограничении длительность периода квантования может быть определена из (2.34) при u_з = 1 следующим образом

. (2.36)

Величина u_maxk_o равна максимальному значению выходной координаты объекта. Отношение есть коэффициент форсировки.

При y = 1, что соответствует u_з = 0, выражение (2.36) примет следующий вид

. (2.37)

Рис.2.3. Переходные процессы в системе с апериодическим

регулятором и объектом первого порядка

Для объектов высокого порядка формула расчета из условия ограничения управляющего воздействия значительно усложняется. Наиболее просто задание управляющего воздействия осуществляется с помощью апериодического регулятора повышенного порядка, который производит установление выходной координаты за n+1 тактов. Передаточная функция такого регулятора имеет вид:

, (2.38)

где – задается;

;

.

Для рассматриваемого в примере объекта первого порядка согласно (1.25) и (2.38) получим следующее выражение

, (2.39)

где ;

;

;

;

.

Если объект имеет на m тактов запаздывание, которое согласно (1.14) в дискретной передаточной функции учитывается сомножителем z^-m, то аналогично можно доказать, что передаточная функция апериодического регулятора будет иметь следующий вид:

.

Длительность переходного процесса при ступенчатом изменении задания будет составлять, очевидно, n+m тактов.

Из (2.6), (2.27) и (2.39) следует, что программно-дискретные ПИД-регуляторы и апериодические регуляторы реализуются практически одинаково (см. выражение (2.4)). Применение того или иного регулятора зависит от конкретных требований к качеству управления, вида объекта управления и допустимой величины периода квантования. Дискретные И-, ПИ-, ПИД-регуляторы целесообразно применять для объектов не выше третьего порядка или в системах подчиненного или каскадного регулирования, особенно для стабилизации выходной координаты при u_з = const. Достоинством этих регуляторов является наличие разработанных рекомендаций для их настройки, особенно для случаев, когда синтез можно производить по непрерывному описанию системы управления (условие (2.14)).

Достоинство компенсационных регуляторов состоит в возможности их синтеза путем задания желаемой передаточной функции замкнутой системы. В принципе, порядок объекта не ограничен. Однако надо учитывать, что результирующая передаточная функция получается путем сокращения полюсов и нулей в передаточной функции объекта управления (путем их компенсации). Поэтому регулятор применим только для устойчивых объектов, т.е. таких, у которых полюсы и нули дискретной передаточной функции лежат на плоскости внутри единичной окружности.

Наиболее просто осуществляется синтез апериодического регулятора. Однако конечное время установления достигается только при точном совпадении модели объекта и истинными параметрами самого объекта. Если такого совпадения нет, то в замкнутой системе могут возникнуть колебания. Поэтому апериодический регулятор целесообразно использовать только для хорошо задемпфированных устойчивых объектов или в системах адаптивного управления с идентификацией параметров объекта.

37