- •II. Елементи аналітичної геометрії.
- •§ 2.1. Декартова прямокутна система координат.
- •§ 2.2. Означення векторної величини. Основні поняття.
- •§ 2.3. Лінійні операції над векторами.
- •§ 2.4. Лінійна залежність векторів. Базис.
- •§ 2.5. Скалярний добуток векторів. Кут між векторами.
- •§ 2.6. Векторний добуток векторів.
- •§ 2.7. Мішаний добуток векторів.
- •§ 2.8. Пряма на площині.
- •§ 2.9. Площина у просторі.
- •§ 2.10. Пряма у просторі.
- •§2.11. Пряма й площина. Нехай у просторі задані пряма
- •§2.12. Еліпс
- •§2.13. Гіпербола.
- •§2.14. Парабола.
- •§2.15. Загальне рівняння кривої другого порядку та його перетворення до канонічної форми
- •§ 2.16. Полярна система координат. Параметричні рівняння лінії
- •§ 2.17. Поверхні другого порядку.
- •7. Конічні поверхні.
- •§ 2.18. Загальне рівняння поверхні другого порядку та його спрощення у деяких частинних випадках.
§ 2.16. Полярна система координат. Параметричні рівняння лінії
Найбільш важливою після прямокутної системи координат на площині вважається полярна система координат . Ця система також дозволяє визначати положення будь-якої точки на площині за допомогою двох чисел – її координат. Полярна система координат складається з деякої точки О, яка називаєтьсяполюсом і напрямленої напівпрямої ОЕ, яка виходить із точки О і називаєтьсяполярною віссю (рис. 18). Крім того, необхідно задати відрізок одиничної довжини (масштаб).
Нехай на площині задані полярна система координат і точка М. З’єднаємо полюс О з точкою М. Довжина отриманого відрізку називаєтьсяполярним радіусом точки М, а кут( кут відлічується від осі ОЕ до відрізку ОМ проти руху годинникової стрілки) –полярним кутом (рис. 18). Числаіє відповідно першою й другою полярними координатами точки М (пишеться М(,)). Можливі значення полярних координат, як правило, визначаються нерівностями,. Інколи вказані області значень розширюються. Наприклад, якщо кутвідлічувати від осі ОЕ за рухом годинникової стрілки, то його значення береться від’ємним. Існує узагальнення полярної системи, в якому ρ також може приймати від’ємні значення.
Якщо на площині задані прямокутна й полярна системи координат, причому полярна вісь ОЕ співпадає з додатковою піввіссю ОХ (рис. 19), то між полярними й прямокутними координатами існує зв’язок:
, (16.1)
. (16.2)
Формули (16.1) виражають декартові координати через полярні, а формули (16.2) – полярні через декартові. Друга з формул (16.2) дає два значення координати із проміжку[0;2). Необхідно взяти те з них, яке задовольняє рівнянням (16.1).
Приклад 1. Відмітити на площині точки),що задані полярними координатами.
Розв’язання. Для побудови точки Мз полярного полюса проводимо промінь під кутомдо полярної осі і відкладаємо на ньому відрізок довжиною 3. Точки Мі Мбудуються подібно (рис. 20).
Приклад 2. Побудувати лінію.
Розв’язання. Врахуємо, що так як ,томоже приймати значення лише на відрізку[0;] (на цьому відрізку ). Знаходимо координати деяких точок даної лінії і записуємо їх у таблицю.
-
0
0
2
0
Відмічаємо знайдені точки на площині і з’єднуємо їх плавною лінією (рис. 21).
Приклад 3 В прямокутній системі координат коло задане рівняннямЗнайти рівняння цього кола в полярних координатах, вважаючи, що полярна вісь співпадає з додатною напіввісью Ох.
Розв’язання. Використовуючи формули (16.1), маємо
Як бачимо, в полярній системі координат рівняння кола значно простіше ніж у декартовій.
При розв’язанні багатьох прикладних задач зручно використовувати так звані параметричні рівняння лінії, тобто, рівняння, в яких координати точок лінії задаються у вигляді функцій від деякої змінної величини t (параметра). Для таких рівнянь прийнята запис. Якщо в параметричних рівняннях виключити параметр t, то отримаємо звичайне рівняння лінії.
Приклад 4. Крива задана параметричними рівняннями Побудувати дану криву і визначити її тип.
t |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
| |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв’язання.Визначаємо координати деяких точок лінії і заносимо їх у таблицю (очевидно, що параметр t достатньо змінювати від 0 до 2). Використовуючи знайдені точки, будуємо криву (рис. 22).
Дана лінія дуже схожа на еліпс. Переконаємося, що це справді так (виключаємо параметр t):
, .