Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Вышка,методичка / 3_мет.1с.1.doc
Скачиваний:
60
Добавлен:
05.06.2015
Размер:
447.49 Кб
Скачать

І. Елементи лінійної алгебри.

§ 1.1. Матриці.

Прямокутна таблиця чисел

,

яка складається з m рядків і n стовпчиків називається числовою матрицею розмірів m x n. Числа , які утворюють матрицю називаються їїелементами. Для записаної матриці прийняті також наступні позначення: .

Розглянемо основні види матриць. Якщо у матриці число рядків дорівнює числу стовпчиків і дорівнює n, то вона називається квадратною матрицею n-го порядку :

.

Елементи a11 , a22 , … , ann утворюють головну діагональ квадратної матриці, а елементи a1n , a2 n-1 , … , an1побічну.

Матрицею-рядком (матрицею-стовпчиком) називається матриця, яка складається з одного рядка (одного стовпчика).

Діагональною називається квадратна матриця, у якої всі елементи, що не належать головній діагоналі, дорівнюють нулю. Одиничною називається діагональна матриця, у якої всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці. Позначається одинична матриця через Е. Отже,

.

Нульовою називається матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю. Позначається вказана матриця літерою О.

Трикутноюназивається квадратна матриця, у якої всі елементи, що знаходяться вище або нижче головної діагоналі дорівнюють нулю.

Лінійними операціями над матрицями називаються операції додавання, віднімання матриць і множення матриці на число.

Додавати й віднімати можна тільки матриці однакових розмірів. Сумою двох матриць іназивається матриця, елементи якої визначаються за формулою. Іншими словами при додаванні (відніманні) двох матриць додаються (віднімаються) відповідні елементи цих матриць.

Добутком матриці на число λ називається матриця, елементи якої визначаються за формулою. Як бачимо, для того щобпомножити матрицю на число, необхідно всі елементи матриці помножити на це число.

Приклад 1. Знайти , якщо

.

Розв’язання.

Для лінійних операцій справедливі наступні основні властивості:

де λ – число, О – нульова матриця. Доведемо першу з них на прикладі квадратних матриць другого порядку:

.

Розглянемо далі добуток двох матриць. Кажуть, що матриця А узгоджена з матрицею В, якщо число стовпчиків матриці А дорівнює числу рядків матриці В. Добуток АВ двох матриць визначений тільки тоді, коли матриця А узгоджена з матрицею В. Добутком матриці на матрицю Вназивається матриця, елементи якої обчислюються за формулою

(1.1)

або скорочено

.

Як бачимо ,елемент сij матриці С дорівнює сумі добутків елементів і–го рядка матриці А на відповідні елементи j–го стовпчика матриці В.

Приклад2. Задані матриці

Знайти добутки АВ і ВА, якщо вони існують.

Розв’язання. Добуток АВ існує (матриця А узгоджена з матрицею В), а добутку ВА не існує (матриця В не узгоджена з матрицею А). Використовуючи формулу (1.1) знайдемо елементи матриці :

Можемо записати

.

Для добутку двох матриць справедливі наступні властивості (при умові, що відповідні добутки існують):

,

де Е і О – одинична і нульова матриця відповідно.

На прикладі квадратних матриць другого порядку доведемо одну з рівностей четвертої властивості:

Відмітимо, що у загальному випадку для добутку двох матриць , тобто міняти місцями множники не можна ( у прикладі 2 один з добутків узагалі не існує).

Якщо кожен рядок матриці А записати як стовпчик із тим самим номером, то отримаємо матрицю , яка називаєтьсятранспонованою до матриці А.

Приклад 3. Для заданої матриці А визначаємо транспоновану матрицю :

Для операції транспонування справедливі такі властивості:

.

Соседние файлы в папке Вышка,методичка