III. Вступ до математичного аналізу

§ 3.1. Поняття границі функції

Нехай функція визначена на множині Х і нехай точкаа належить або не належить цій множині. Число А називається границею функції в точціа (або при х→а) якщо для будь-якого (скільки завгодно малого) числа знайдеться числотаке, що для всіх, які задовольняють умові, виконується нерівність. Для вказаної границі прийняте позначення.

Приклад 1. Довести що

Розв’язання. Нехай ε – довільне додатне число. Доведемо, що для нього існує відповідне δ (знайдемо це δ). У нашому випадку Розглянемо нерівність. Маємо

Отже,(враховано, що).

Число A називається правою (лівою) границею функції в точціа, якщо для будь-якого числа знайдеться числотаке, що для всіх, які задовольняють умові, виконується нерівність. Для вказаних границь прийняті позначення (перша – права, друга – ліва):

Зрозуміло, що у випадку правої границі змінна х наближається до числа а, залишаючись справа від нього, а у випадку лівої – зліва (рис. 38). Права і ліва границя називаються, також, односторонніми.

Між границею функції і її односторонніми границями в даній точці існує простий зв’язок: число А є границею функції в точціа тоді і тільки тоді, коли у цій точці існують обидві односторонні границі, причому

Число А називається границею функції при х→∞, якщо для будь якого числаіснує числотаке, що для всіх, які задовольняють умові, виконується нерівність. Позначається вказана границя

Наведемо основні властивості границі функції. Нехай, ,. Тоді:

1).

2)

3)

4)

5)

Вказані властивості залишаються в силі для односторонніх границь і при х→∞.

Приклад 2 Обчислити границю .

Розв’язання. Тут достатньо застосувати наведені властивості границь і підставити замість змінної х її граничне значення:

§ 3.2 Нескінченно мала і нескінченно велика функції.

Функція називаєтьсянескінченно малою в точціа, якщо.

Функція , яка визначена на Х, називаєтьсянескінченно великою в точці ,якщо для будь якого (наскільки завгодно великого ) числа існує число таке, що для всіх , які задовольняють умові, виконується нерівність. Для вказаної функції прийняте позначення. Подібні означення даються при.

Між нескінченно малими і нескінченно великими існує наступний зв’язок : якщо – нескінченно велика при, то– нескінченно мала при; якщо– нескінченно мала при, то– нескінченно велика при. У зв’язку зі сказаним більш детально розглянемо одну з цех функцій, а саме, нескінченно малу.

Основні властивості нескінченно малих функцій ():

1) алгебраїчна сума декількох нескінченно малих функцій є нескінченно малою ;

2) добуток нескінченно малих функцій є нескінченно малою;

3) добуток нескінченно малої на обмежену функцію є нескінченно малою;

Розглянемо правила порівняння двох нескінченно малих функцій. Нехай – дві нескінченно малі функції при() і нехай. Тоді:

1) якщо , тоє нескінченно малоюбільш високого порядку, ніж ;

2) якщо A – будь-яке відмінне від нуля число ,то iє нескінченно малимиодного порядку ;

3) якщо A=1, то єеквівалентними нескінченно малими й у цьому випадку пишуть .

Якщо , де A – будь-яке відмінне від нуля число, то кажуть, щоє нескінченно малоюn-го порядку відносно .

Приклад 1. Функції іє нескінченно малими одного порядку в точці, так як

Нехай – нескінченно малі функції в точці.Тоді, якщо,в точціі існує границято також існує границяпричому

Вказана властивість еквівалентних нескінченно малих функцій може використовуватися при обчисленні границь. Вона дозволяє замінювати нескінченно малі функції еквівалентними їм нескінченно малими. Корисно пам’ятати наступні пари нескінченно малих (при х→0): .

Приклад 2.