§2.12. Еліпс

Еліпсомназивається множина точок площини, які мають наступні властивості: сума відстаней від будь-якої точки цієї множини до двох даних точок площини є величина стала і більша за відстань між даними точками. Дві дані точки називаютьсяфокусамиеліпса і позначаютьсяі.

Використовуючи означення, легко отримати рівняння еліпса. Систему координат розміщуємо наступним чином: вісьпроходить через фокусиі, а вісь– посередині між ними (рис.11). Відстань між фокусамиіпозначимо через, а суму відстаней від довільної точкиеліпса до фокусів – через. У відповідності з означенням, можемо записати

. (12.1)

Підставивши в (12.1) відповідні вирази і, зробивши деякі перетворення, отримаємо

, (12.2)

де . Рівняння (12.2) називаєтьсяканонічним рівнянням еліпса:величиниі(і) – відповідно більшою й меншою осями (півосями) еліпса. На основі рівняння (12.2) можна побудувати саму криву (рис.12).

Якщо фокуси еліпса розміщені на осісиметрично відносно осі, то рівняння (12.2) також буде його канонічним рівнянням, але у цьому випадку.

У граничному випадку, коли (), рівняння (12.2) приймає вигляд

. (12.3)

Останнє рівняння є рівнянням кола з центром у початку координат і радіусом .

Ексцентриситетом еліпсаназивається відношення відстаней між фокусами до більшої осі:

, ();, (). (12.4)

Ексцентриситет еліпса характеризує відносну різницю між його осями і задовольняє співвідношенню . Для еліпса, у якого вказана різниця невелика (), значенняблизьке до нуля (у кола). Якщо ж указана різниця велика (або), тоблизьке до одиниці.

Приклад 1.Для еліпса

знайти: а) півосі; б) координати фокусів; в) ексцентриситет.

Розв’язання.а) Порівнявши дане рівняння з рівнянням (12.2), маємо

,;,.

б) Так як , то,. Отже,,– фокуси еліпса.

в) На основі (12.4), знайдемо .

§2.13. Гіпербола.

Гіперболоюназивається множина точок площини, які мають наступні властивості: модуль різниці відстаней від будь-якої точки цієї множини до двох заданих точок площини є величина стала, менша за відстань між даними точками і відмінна від нуля. Дві дані точки називаютьсяфокусами гіперболи і позначаютьсяі.

Уведемо позначення: – відстань між фокусамиF₁іF₂;– модуль різниці відстаней від довільної точкигіперболи до фокусів (). Систему координатзадаємо так, щоб фокуси гіперболи знаходилися на осіі були симетричними відносно осі(рис.11). У відповідності з означенням, можемо записати

. (13.1)

На основі (13.1), дістанемо канонічне рівняння гіперболи

, (13.2)

де . Використовуючи останнє рівняння, будуємо криву (рис.13). Величиниі(і) називаються відповіднодійсноюйуявноюосями (півосями) гіперболи.

Якщо фокуси гіперболи розміщені на осі симетрично відносно осі, то канонічне рівняння гіперболи має вигляд

, (13.3)

де . У цьому випадкуі– відповідно уявна й дійсна осі.

Ексцентриситетом гіперболиназивається відношення відстані між фокусами до дійсної осі, тобтоабо. Для гіперболи.

Асимптотою кривоїназивається пряма, яка має наступну властивість: відстань від точки кривої до цієї прямої нескінченно зменшується при нескінченому віддаленні точки кривої від початку координат. Гіпербола має дві асимптоти (рис.13):

,. (13.4)

Приклад 1.Гіпербола задана рівнянням.

Знайти: а) півосі гіперболи; б) фокуси; в) ексцентриситет; г) рівняння асимптот.

Розв’язання.а) Після ділення даного рівняння на 36, маємо

.

Отже, ,.

б) Для гіперболи ,;,– фокуси гіперболи.

в) Так як – дійсна піввісь, то.

г) застосовуючи формули (13.4), знайдемо рівняння асимптот:,.

Еліпс і гіпербола є центральними кривими, тобто вони мають центр симетрії (для канонічних рівнянь – початок координат).Окрім того, ці криві мають по дві осі симетрії (для канонічних рівнянь – осі координат).