1.7. Выражение законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме

Рассматривая активный, индуктивный и емкостный элементы в цепи синусоидального тока, мы ввели понятия активного и реактивного (индуктивного или емкостного) сопротивлений. Обобщая, назовем отношение комплексного напряжения к комплексному току комплексным сопротивлением цепи Z:

.

Модуль и аргумент сопротивления равны соответственно отношению действующих значений и сдвигу фаз между током и напряжением.

Вещественную и мнимую части Zназывают активным и реактивным сопротивлениями. Величина, обратная комплексному сопротивлению, называется комплексной проводимостью :

.

Ее модуль и аргумент по определению являются величинами обратными Z и . Вещественную и мнимую части Y называют активной и реактивной проводимостями. Установим связь между активными и реактивными сопротивлениями и проводимостями.

,

отсюда .

Введение комплексных сопротивлений и проводимостей означает введение закона Ома в комплексной форме для установившегося синусоидального режима: .

В отличие от закона Ома для постоянного тока, здесь учитывается, кроме действующих значений тока и напряжения, еще и сдвиг фаз между ними.

Запишем теперь законы Кирхгофа в комплексной форме.

Первый закон Кирхгофа для узлов в комплексной форме записывается в виде: .

Второй закон Кирхгофа для контуров в комплексной форме записывается в виде: .

После введения понятий комплексного сопротивления и установления законов Ома и Кирхгофа для комплексных токов и напряжений ветвей нет необходимости в предварительном составлении систем дифференциальных уравнений цепи с последующим преобразованием их в алгебраические уравнения для комплексов тока и напряжения. При анализе цепи комплексным способом удобно каждый элемент цепи представлять своим комплексным сопротивлением или проводимостью, а токи и напряжения - соответствующими комплексами действующих значений. В результате получается комплексная схема замещения цепи. На этой схеме каждую пассивную ветвь можно представить в виде двухполюсника с комплексным сопротивлением, а каждую активную - в виде источника с комплексными ЭДС и внутренним сопротивлением.

Такая схема замещения будет иметь вид резистивной цепи, только вместо вещественных величин на схеме будут комплексные величины тока, напряжения, ЭДС и сопротивления.

Комплексный характер величин отражает необходимость учета сдвига фаз между синусоидальными токами и напряжениями в установившемся режиме. Уравнения состояния по комплексным схемам замещения составляются аналогично резистивным цепям на постоянном токе. Поэтому при анализе цепи комплексным способом можно применять все те методы, которые справедливы на постоянном токе:

- методы эквивалентного преобразования схем (параллельное и последовательное соединение элементов, преобразования звезда - треугольник и обратно, преобразования источников напряжения и тока);

- метод пропорциональных величин;

- метод узловых потенциалов;

- метод контурных токов;

- метод эквивалентного генератора;

- принцип наложения, взаимности.

Формально отличие анализа комплексным способом от анализа резистивных цепей на постоянном токе будет состоять лишь в том, что коэффициенты всех уравнений, а также переменные будут комплексными величинами.

Поскольку каждое слагаемое в комплексном уравнении можно представить вектором, а само уравнение - суммой векторов, комплексный метод позволяет сопровождать аналитические расчеты наглядными графическими иллюстрациями - векторными диаграммами.

Рассмотрим использование комплексного метода для расчета конкретных цепей.