![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Линейные цепи синусоидального переменного тока
- •Кострома, 1997
- •1. Комплексный метод анализа линейных цепей синусоидального тока
- •1.1. Переменный синусоидальный ток. Основные понятия
- •1.2. Действующие значения синусоидальных токов, напряжений и эдс
- •1.3.Изображение синусоидальных электрических величин
- •1.4. Представление синусоидальных электрических величин комплексными числами и векторами на комплексной плоскости
- •1.5. Электрическая цепь переменного синусоидального тока и ее математическая модель
- •Проиллюстрируем наши выкладки графиками I, u, p,
- •Пусть по цепи с индуктивным элементом протекает синусоидальный ток :
- •Cравнение амплитуд и начальных фаз дает
- •Запишем закон Ома в комплексной форме на емкостном элементе :
- •1.6. Комплексный метод расчета линейных электрических цепей при синусоидальных токах
- •1.7. Выражение законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме
- •1.8. Реальная катушка индуктивности в цепи синусоидального тока
- •1.9. Последовательное включение реальной катушки индуктивности и конденсатора без потерь в цепь синусоидального тока
- •Выразив напряжения через ток и сопротивления , получим :
- •Как модуль , так и аргумент комплексного сопротивления контура :
- •1.10. Параллельное включение резистивного элемента, идеальной катушки индуктивности и конденсатора в цепь синусоидального тока
- •1.11. Смешанное соединение элементов. Разветвленные цепи
- •1.12. Мощности в цепи синусоидального тока
- •1.13. Вопросы
- •2. Резонанс и частотные характеристики
- •2.1. Определение фазового резонанса
- •2.2. Резонанс напряжений
- •2.3. Колебания энергии при резонансе
- •2.4. Резонанс токов
- •2.5. Резонанс в сложных контурах
- •2.6. Вопросы
- •3. Электрические цепи с индуктивно связанными элементами
- •3.1. Эдс взаимоиндукции и взаимная индуктивность
- •3.2. Последовательное соединение индуктивно связанных элементов
- •3.3 Параллельное соединение индуктивно связанных элементов
- •3.5.Схемы замещения простейших цепей с индуктивными связями
- •3.6.Трансформатор без ферромагнитного магнитопровода
- •3.7. Резонанс в цепях с индуктивно связанными элементами
- •3.8. Вопросы
- •2. Резонанс и частотные характеристики.....................….... 40
Проиллюстрируем наши выкладки графиками I, u, p,
приняв u= i=0.
Как видно из рис. 1.5., мгновенная мощность пульсирует с удвоенной угловой частотой относительно своего среднего значения и всегда положительна. Это означает, что при любом направлении тока в резисторе энергия поступает от источника в цепь и необратимо превращается в тепловую или другие виды.
Для записи закона Ома в комплексной форме используются комплексы амплитуд тока и напряжения:
Um =Um eju ; Im =Im eji ,т.к.u= i ;Um =RIm, получим :Um =RIm.
Перейдем к комплексам действующих значений U =RI.
Рис. 1.5.
Векторная диаграмма на комплексной плоскости напряжения и тока резистивного элемента показана на рис.1.6.
Рис. 1.6.
Индуктивный идеальный элемент в цепи синусоидального тока.
В электрических цепях постоянного тока магнитное поле, созданное током, не изменяется и, следовательно, не оказывает влияния на режим работы цепи. В цепях синусоидального тока всякое изменение тока в цепи вызывает соответствующее изменение магнитного поля, что численно выражается через изменение собственного потокосцепления Li и приводит к возникновению ЭДС самоиндукцииeL. Коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью ЭДС самоиндукции определяется скоростью изменения собственного потокосцепления.
eL=.
Когда магнитное поле образуется в немагнитной среде, зависимость
между иiявляется линейной, и отношение-
постоянная величина. Следовательно,
индуктивность L элемента цепи можно
рассматривать как коэффициент
пропорциональности междуиi, или между скоростью изменения
тока в цепи и ЭДС самоиндукции, наведенной
в этом элементе. Таким образом,
индуктивность характеризует свойство
индуктивного элемента преобразовывать
электроэнергию источника в энергию
магнитного поля. На схемах замещения
индуктивный элемент изображается, как
показано на рис.1.4.б. Так как индуктивность
- пассивный элемент, поэтому условно
положительное направление тока и
напряжения совпадают. Условились
положительное направление ЭДС самоиндукции
брать совпадающим с положительным
направлением тока, который наводит эту
ЭДС, см. рис.1.4.б. Поэтому действительное
направление ЭДС самоиндукции совпадает
с направлением, обозначенным на рисунке
при убывании тока в цепи, т.е. когда
<0
, аeL>0
. По второму закону Кирхгофа для замкнутого
контура, состоящего из источника ЭДС и
идеального индуктивного элемента,
имеем: e+
eL=0 . Как известно, напряжение на зажимах
источникаu=e-iRв
, и еслиRв=0, то u=e.
Приняв во внимание, чтоu=uL
,аeL=
,
получаем uL+eL=0, илиuL=eL. Последнее выражение показывает, что прохождение по индуктивному элементу синусоидального тока, возможно при условии, когда напряжение этого элемента уравновешивает ЭДС самоиндукции, то есть равно ему по величине и противоположно по фазе.
Пусть по цепи с индуктивным элементом протекает синусоидальный ток :
i= Im sin(t+ i ) .
Напряжение на индуктивном элементе уравновешивает ЭДС самоиндукции
,
или
.
Сравнение амплитуд и начальных фаз тока и напряжения дает:
;
Следовательно, напряжение на индуктивном элементе опережает ток по фазе на 900, а отношение амплитуд напряжения и тока определяется
величиной
,
называемой индуктивным сопротивлением.
Увеличение индуктивного сопротивления пропорционально частоте отражает тот факт, что с ростом частоты изменения тока (и связанного с ним магнитного потока) будет пропорционально расти напряжение, индуктированное в элементе. Разделив амплитуды тока и напряжения
на
,
получим закон Ома для действующих
значений:
.
Найдем мгновенное значение мощности в индуктивном элементе:
переходя к действующим значениям и учитывая, что
- cos(2+90)= sin 2
получим
.
Проиллюстрируем наши выкладки графиками i , uL ,pL, принимая
=0 (. 1.7.).
рис
Рис.
1.7.
Мгновенная мощность в индуктивном
элементе изменяется по синусоидальному
закону с удвоенной частотой. В первую
четверть периода, когда i>0, u>0, мощность
положительна, энергия
от
источника переходит в цепь и затрачивается
на создание магнитного поля. К концу
четверти периода катушка запасает
максимальную магнитную энергию, равную
.
Во вторую четверть периодаi убывает, но больше нуля, а напряжение
меньше нуля, поэтому и мощность меньше
нуля. Энергия магнитного поля возвращается
обратно в источник. К концу полупериода
вся энергия возвратится в источник. Во
втором полупериоде процессы повторяются
при другом направлении тока. Энергия
непрерывно преобразуется из электрической
в энергию магнитного поля и обратно с
возвращением источнику. Энергия цепи
за период равна нулю, средняя или активная
мощность за период также равна нулю. В
этом также можно убедиться, вычислив
интеграл:
.
Энергия, непрерывно колеблющаяся в цепи с индуктивным элементом, называется индуктивной реактивной энергией, а максимальное значение мощности, связанное с ней - индуктивной реактивной мощностью:
QL = UL I= XL I2,
и измеряется в вольт-амперах реактивных (ВАр). Реактивная мощность представляет максимальную скорость обмена энергией между источником и элементом и определяет ток, связанный с этим обменом. Протекание тока приводит к дополнительным потерям в сопротивлении устройств передачи энергии, поэтому реактивная мощность должна быть по возможности минимальной.
Для записи закона Ома в комплексном виде представим комплексы амплитуд тока и напряжения на индуктивном элементе:
Im
=Im
eji
,
Um
=Um
eju
=LIm
e=LIm
eji
e
,
так как e=j, следовательно,Um
=jLIm
Перейдем к комплексам действующих значений и запишем закон Ома в виде : U= XLI,
где XL= jL называется комплексным индуктивным сопротивлением. Поскольку оно имеет только мнимую составляющую, его называют еще реактивным сопротивлением.
Векторная диаграмма напряжения и тока индуктивного элемента показана на рис. 1.8.
Рис. 1.8.
Емкостный идеальный элемент в цепи синусоидального тока.
Емкостный элемент вводится в схему замещения реальной цепи с синусоидальным током для учета влияния изменяющегося электрического поля элементов цепи. На схеме емкостный элемент изображается, как показано на рис. 1.4. в.
Пусть uc= Um sin(t+u )
как известно, q = uc c =cUm sin(t+u).
Периодическая перезарядка конденсатора сопровождается протеканием
через него зарядного тока
илиi = cUm