§ 2. Уравнения Бернулли.

2.1. Определение дифференциального уравнения Бернулли.

Уравнения Бернулли рассматривают одновременно с линейными дифференциальными уравнениями, так как они достаточно просто приводятся к линейным уравнениям. Применение уравнений Бернулли расширяет наши возможности в исследованиях задач геометрии и физики.

Определение: (2.1)

Дифференциальное уравнение 1-го порядка называют уравнением Бернулли в стандартной форме, если оно имеет вид: , ,– некоторые функции переменной или (в частном случае) постоянные и значения удовлетворяют требованиям: и .

Замечание: Учитывая, что в приложениях дифференциальных уравнений обозначения независимой переменной и функции могут быть произвольными, запись уравнения Бернулли в стандартной форме будет сохранять свою форму.

Отметим, что при значении уравнение Бернулли превращается обычное линейное неоднородное дифференциальное уравнение в стандартной записи: , а при значении – в линейное однородное уравнение: , где .

☺☺

Пример 3–10: Из заданного набора дифференциальных уравнений:

+ =, + =, ,

=, =, выделить уравнение Бернулли:

Решение:

1). Уравнениями Бернулли в форме являются уравнения: , значение и , значение . Уравнениями Бернулли в форме являются уравнения: , значение и , значение .

2). Уравнения , не являются уравнениями Бернулли ни в форме , ни в форме .

Ответ: уравнения Бернулли являются уравнения: , , , и .

☻

2.2. Способ решения дифференциального уравнения Бернулли.

Прежде чем приступим к рассмотрению способов решения линейных уравнений, заметим, что уравнение Бернулли в общем случае может быть записано в виде:

, или . (1)

Так как разработка стандартных алгоритмов решения уравнения Бернулли предполагает использование стандартной записи линейного уравнения, то будем предполагать, что, с учётом тождественности преобразований, от записи (1) осуществлён переход к стандартной записи , именно:

, где = и =. (2)

Предположение, что решение уравнения Бернулли может быть сведено к решению линейного неоднородного уравнения, подсказывает 1-й шаг общего алгоритма его решения: разделить уравнение Бернулли на . Получим уравнение:

. (3)

Учитывая опыт дифференцирования функций вида =, где , нетрудно заметить, что для функции = производная: =. В таком случае преобразование уравнения Бернулли в линейное уравнение очевидно:

. (4)

Для удобства перехода к стандартному алгоритму решения линейного неоднородного уравнения обозначим: = и =. Перепишем уравнение (4):

. (5)

Используя стандартную запись линейного неоднородного уравнения (5), нами получен стандартный алгоритмего решения:

1). Имея стандартную запись уравнения Бернулли: , применяем подстановку в виде: =, и вычисляем: = и = – коэффициенты уравнения (5).

2). Применяем подстановку =, где = и =. Вычисляем интеграл: и записываем функцию =.

3). Вычисляем интеграл = и записываем: ==∙– общее решение уравнения (5), где =.

4). Если решение уравнения предполагало нахождение частного решения уравнения для заданных начальных условий , то соответствующее значение произвольной постоянной вычисляют из выражения: =∙, принимая и . После этого записывается частное решение: =∙.

Замечание: При решении конкретного уравнения Бернулли его следует привести к стандартному виду (5) и выполнить шаги стандартного алгоритма решения линейного уравнения!

☺☺

Пример 3–11: Решить дифференциальное уравнение: =,

Решение:

1). Заданное уравнение запишем в виде: = – уравнение Бернулли в стандартной форме для случая .

2). Имея стандартную запись уравнения Бернулли, применяем подстановку в виде: =, и вычисляем коэффициенты: = и =. В нашем случае подстановка имеет вид: ==, коэффициенты: =, =.

3). Применяем подстановку =, где = и =. Вычисляем интеграл: и записываем функцию =. В нашем случае == → =.

4). Вычисляем интеграл =. В нашем случае: =+. Применяя способ интегрирования по частям, получим =.

5). Записываем: ==∙– общее решение уравнения, где=. В нашем случае:=∙, где=.

Ответ: = – общее решение.

Пример 3–12: Решить дифференциальное уравнение: ,

Решение:

1). Уравнение относительно очевидно не есть линейное, потому искать в нём признаки уравнения Бернулли нет смысла! Остаётся поискать линейность относительно . Перепишем заданное уравнение: .

2). Полученное уравнение есть уравнение Бернулли в стандартной форме для значения, при этом имеем: и .

3). Применим подстановку: =и вычислим коэффициенты:=,=.

4). Применяем подстановку =, где = и =. Вычисляем интеграл: и записываем функцию =. В нашем случае == → =.

Замечание: в последней записи выражения для функции знак модуля опущен, так как в исходном уравнении предполагается .

5). Вычисляем интеграл =. В нашем случае: =+. Тогда можем записать: = +.

6). Запишем общее решение уравнения: =∙, или =∙.

Ответ: – общее решение.

☻