1.3. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения вида для заданных начальных условий: .

Пусть функция определена и непрерывна по каждой из переменных в замкнутой области плоскости , определяемой условиями ; , где и – некоторые действительные числа. Заметим, что точка принадлежит области . В таком случае теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения для заданных начальных условий принимает вид:

Теорема: (1.1)

Если функция определена и непрерывна по каждой из переменных в области D, а также непрерывна в этой области ее частная производная , то существует единственное решение этого уравнения , удовлетворяющее условию: .

Замечания: 1). Учитывая определение задачи Коши, отметим, что теорема определяет условия единственности решения задачи Коши для некоторого дифференциального уравнения в заданной точке , принадлежащей области . Графически указанная Теорема выглядит так: в области D через каждую точку проходит одна из интегральных кривых.

2). Требование непрерывности частной производной может быть заменено более мягким требованием: , где – постоянная величина, применяемая в заданной области D. Такое смягчение требования к производной расширяет класс функций , обеспечивающих единственность решения задачи Коши для уравнения , но усложняет доказательство теоремы.

►Учитывая назначение настоящего Пособия, не станем приводить здесь доказательство теоремы: оно громоздко и многим может показаться сложным. Отметим только роль указанных в теореме требований:

1). Если функция непрерывна в области , то решение уравнения в каждой точке этой области существует.

2). Если частная производная непрерывна (или ограничена) в некоторой точке области , то решение задачи Коши для уравнения в точке определяет единственную функцию , для которой . ◄

Принято называть точки, в которых нарушается хотя бы одно из требований теоремы, особыми точками дифференциального уравнения. Если точка плоскости для заданного уравнения особая, то возможны случаи: а) через точку не проходит ни одна интегральная кривая; б) через точку проходит несколько интегральных кривых.

Для отработки практических навыков применения теоремы о существовании и единственности решения дифференциального уравнения рассмотрим несколько примеров.

☺☺

Пример 1–03: Исследовать множество решений уравнение ,, применяя теорему о существовании и единственности решения.

Решение:

1). В рассматриваемом случае имеем: = – эта функция непрерывна в любой точке её области определения , то есть в верхней полуплоскости , включая ось .

2). Частная производная =, если . Нетрудно заметить, что производная непрерывна при любых значениях . Это значит, что для точек, расположенных на числовой оси , то есть для точек следует ожидать нарушения единственности решения.

3). Из записи уравнения легко следует, что функция – числовая ось есть решение уравнения. Если , то исходное уравнение можно записать в виде уравнения в дифференциалах: . Его решение легко получить: = (нетрудно проверяется дифференцированием записанного равенства). Определим начальные условия в виде: . Значение величины для заданной точки нетрудно вычислить из уравнения: . Тогда частное решение для заданных начальных условий принимает вид: = – семейство парабол, касающихся оси . Построение множества интегральных кривых можно представить как параллельный перенос параболы = (кривая ) вдоль оси в соответствии со значением произвольной постоянной: .

4). Учитывая полученные результаты, наблюдаем нарушение единственности решения уравнения в точках , то есть в каждой точке оси . Через эту точку проходят две интегральные линии: прямая линия и парабола =.

5) В соответствии с утверждениями теоремы: а) существование решения, определяемое непрерывностью функции =, подтвердилось; б) нарушение единственности решения в точках соответствует нарушению непрерывности частной производной в этой точке.

Ответ: применение теоремы о существовании и единственности решения ДУ показано.

Замечание: Рассмотренный пример интересен тем, что нарушение единственности решения наблюдается в каждой точке решения . В таком случае решение называют особым решением.

Пример 1–04: Исследовать множество решений уравнение , применяя теорему о существовании и единственности решения.

Решение:

1). В рассматриваемом случае имеем: = – эта функция непрерывна в любой точке плоскости . Это значит, что найдётся хотя бы одна интегральная кривая, проходящая через точку .

2). Частная производная =, если и =, если . Нетрудно заметить, что производная непрерывна при любых значениях , кроме значения . Это значит, что для точек, расположенных на числовой оси , то есть для точек следует ожидать нарушения единственности решения.

3). Из записи уравнения легко следует, что функция – числовая ось есть решение уравнения. Если , то, учитывая свойства модуля, рассмотрим случаи:

а) если , исходное уравнение перепишем в виде ; его решение рассмотрено в предыдущем примере – семейство парабол, касающихся оси ; построение семейства парабол (интегральных кривых) можно представить как параллельный перенос параболы = (кривая ) вдоль оси в соответствии со значением произвольной постоянной ;

б) если , исходное уравнение перепишем в виде ; его решение (нетрудно проверяется дифференцированием записанного равенства) – семейство парабол, касающихся оси ; построение семейства парабол (интегральных кривых) можно представить как параллельный перенос параболы (кривая ) вдоль оси в соответствии со значением произвольной постоянной .

Замечание: График функции , то есть кривой , легко построить, имея график функции = (кривая ): сначала строим график функции (кривая : симметрична кривой относительно оси ), затем график функции (кривая, симметрична кривой относительно оси ).

4). Учитывая полученные результаты, наблюдаем нарушение единственности решения уравнения в точках , то есть в каждой точке оси . Через эту точку проходят три интегральные линии: прямая линия , парабола и парабола . Это значит, что решение есть особое решение.

5) В соответствии с утверждениями теоремы: а) существование решения, определяемое непрерывностью функции =, подтвердилось; б) нарушение единственности решения в точке соответствует нарушению непрерывности частной производной в этой точке.

Ответ: применение теоремы о существовании и единственности решения ДУ показано.

Замечание: Рассмотренные примеры интересны тем, что мы смогли проиллюстрировать особенности применения теоремы о существовании и единственности решения, используя для решения заданных дифференциальных уравнений только школьное понятие первообразной.

☻

Рассмотренные примеры интересны ещё и тем, что убедительно обнаруживают факт: для эффективного применения теоремы о существовании и единственности решения к конкретному дифференциальному уравнению требуется умение решить это уравнение, то есть умения найти все его решения.