- •Глава 2. Однородные функции и однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •§ 1. Однородные функции.
- •§ 2. Однородные уравнения первого порядка.
- •§ 3. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному уравнению.
- •§ 4. Обобщённые примеры решения уравнений специального вида.
- •§ 5. Применение однородных уравнений 1-го порядка: задачи из геометрии.
- •§ 6. Применение однородных уравнений 1-го порядка: задачи из физики.
§ 6. Применение однородных уравнений 1-го порядка: задачи из физики.
Задачи из физики, в которых требовалось бы применение однородных дифференциальных уравнений, встречается не часто. Мы рассмотрим Пример, в котором некоторый физический процесс описан однородным дифференциальным уравнением.
☺☺
Пример 2–18: В сосуде содержится раствор некоторого вещества. Под влиянием различных факторов концентрация этого вещества изменяется так, что процесс может быть описан дифференциальным уравнением: =, где – некоторое число, – время.
Решение:
1). Очевидное решение исходного уравнения: =0 не представляет особого интереса. Нетрудно заметить, что в условии задачи записано однородное дифференциальное уравнение в стандартной форме.
2). Примем и запишем: =. Из условия: получаем решение: =0, что соответствует решению =0.
3). Принимая , запишем: – общее решение уравнения. В нашем случае: , или . Учитывая: , получаем: – общее решение исходного уравнения.
4). Отметим, при значениях концентрация вещества увеличивается, при значениях убывает.
Ответ: общее решение уравнения: , также =0.
☻
Вопросы для самопроверки:
Что значит: многочлен однородный, 2-й степени?
Задана однородная функция порядка . Что это значит?
Может ли однородная функция иметь степень однородности ?
Что значит: дифференциальное уравнение – однородное?
Какое из уравнений однородное: а) , б) ?
Что значит: дифференциальное уравнение – однородное?
Является ли дифференциальное уравнение =0 однородным?
Что значит, однородные уравнения имеют стандартную форму записи?
Какое из уравнений: а)=, б) = есть однородное стандартной формы записи?
Каковы основные шаги стандартного алгоритма решения однородного ДУ ?
Каковы основные шаги стандартного алгоритма решения однородного ДУ ?
Какова общая запись ДУ специального вида, проводящегося к однородному уравнению?
Каковы основные шаги стандартного алгоритма решения ДУ =?
• ◄ ≡ ► •