- •Глава 2. Однородные функции и однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •§ 1. Однородные функции.
- •§ 2. Однородные уравнения первого порядка.
- •§ 3. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному уравнению.
- •§ 4. Обобщённые примеры решения уравнений специального вида.
- •§ 5. Применение однородных уравнений 1-го порядка: задачи из геометрии.
- •§ 6. Применение однородных уравнений 1-го порядка: задачи из физики.
§ 2. Однородные уравнения первого порядка.
Однородные дифференциальные уравнения интересны тем, что достаточно просто приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными, то есть всегда интегрируются.
Определение: (2.2) |
Дифференциальное уравнение называется однородным, если: : В записи уравнения: функция – однородная порядка =0. : В записи уравнения: функции и – однородные одного порядка. |
По отношению к каждому из указанных типов уравнений рассмотрим две задачи:
▪ задача-1: определить тип заданного уравнения;
▪ задача-2: разработать общий алгоритм решения уравнения.
Задача-1.
Заметим, определение типа конкретного дифференциального уравнения важно: это позволяет выбрать стандартный алгоритм решения уравнения и не тратить время на его обоснование в каждом решаемом Примере. Для однородных уравнений: ирассмотрим несколько примеров решения Задачи-1.
☺☺
Пример 2–04: Из заданного набора ДУ выделите однородные уравнения: а) ;
б) ; в) .
Решение:
1). Если учесть, что для заданной формы уравнения правая часть уравнения должна быть функцией нулевого порядка, то для указанных случаев получим:
а) правая часть уравнения не есть однородная функция;
б) правая часть уравнения – однородная функция нулевого порядка;
в) правая часть уравнения – однородная функция нулевого порядка.
2). Следовательно, в случаях б) и в) заданные уравнения – однородные.
Ответ: уравнения б) и в) – однородные.
Пример 2–05: Из заданных уравнений: а) =0; б) =0; в) =0 выделите однородные уравнения.
Решение:
1). Если учесть, что для заданной формы уравнения требуется, чтобы функции и были однородными одинакового порядка, то для указанных случаев получим:
а) функции и – однородные и обе имеют порядок 1;
б) функции и – однородные и обе имеют порядок 0;
в) функция – однородная нулевого порядка, функция – неоднородная.
2). Следовательно, в случаях а) и б) заданные уравнения – однородные.
Ответ: уравнения а) и б) – однородные.
Замечание: будем считать, что однородные уравнения имеют стандартную форму записи, если уравнение представлено в виде выражения: .
Пример 2–06: Из заданных уравнений: а) ; б) ; в) ; г) выделите однородные уравнения, имеющие стандартную форму записи.
Решение:
1). Учитывая определение стандартной формы однородного уравнения, для указанных случаев получим: а) запись уравнения не соответствует стандартной форме;
б) запись уравнения соответствует стандартной форме;
в) запись уравнения не соответствует стандартной форме;
г) запись уравнения соответствует стандартной форме.
2). Следовательно, в случаях б) и г) заданные уравнения записаны в стандартной форме.
Ответ: стандартную форму записи имеют только уравнения: б) и г).
☻
Задача-2, вариант:.
Требуется решить однородное уравнение, заданное в виде: –исходнаязапись. При рассмотрении однородных функций нулевого порядка было показано, как привести однородную функциюк виду. Это позволяет (применяя тождественные преобразования) получитьстандартнуюзапись однородного уравнения:. Используя исходную и стандартную записи однородного уравнения, получимстандартный алгоритмрешения уравнения:
1). Выделяем очевидные решения исходного уравнения. Если =0, то есть одно из решений уравнения: – прямая, параллельная оси .
2). Примем , откуда . Учитывая определение решения уравнения, потребуем, чтобы функция была решением заданного уравнения. Найдём производную: . Подставив и в уравнение , получим уравнение: . (1)
3). Нетрудно заметить, что уравнение (1) – уравнение с разделяющимися переменными, решение которого подробно рассматривается в Главе 1.
4). Уравнение (1) может иметь очевидные решения из условия: . Если =0, то функция – тоже решение (прямая, проходящая через начало координат).
5). Принимая , перепишем уравнение (1) в виде: – уравнение с разделёнными переменными, которое можно интегрировать: – общее решение уравнения (1).
6). Учитывая , получим общее решение исходного уравнения.
Замечание: Записывая общий ответ конкретного Примера, необходимо указать также возможные решения исходного уравнения: и .
☺☺
Пример 2–07: Решить дифференциальное уравнение: =.
Решение:
1). Отмечаем: очевидных решений исходного уравнения нет. Нетрудно заметить, что правая часть уравнения есть однородная функция нулевого порядка. Запишем: == и применим стандартный алгоритм решения уравнения.
2). Примем и запишем: ===. Из условия: получаем решение: . Учитывая , получаем частные решения заданного уравнения в виде: – прямые, проходящих через начало координат .
3). Принимая , запишем: – общее решение уравнения. В нашем случае: . Нетрудно заметить, что . Общее решение заданного уравнения запишем в виде: , где .
Ответ: общее решение уравнения: , также .
Пример 2–08: Решить дифференциальное уравнение: =.
Решение:
Замечание: Так как переменная может принимать значения: и , рассмотрим оба случая!
Случай-1: .
1). Отмечаем: очевидных решений исходного уравнения нет. Учитывая , заданное уравнение представим в виде: == и применим стандартный алгоритм решения уравнения.
2). Примем и запишем: =. Из условия: получаем решение: . Учитывая , получаем частные решения заданного уравнения в виде: – две прямые, проходящие через начало координат .
3). Принимая , запишем: – общее решение уравнения. В нашем случае: , или: , где . Из соображений удобства, можно записать общее решение в виде:
Ответ: общее решение уравнения: , также .
Случай-2: .
1). Отмечаем: очевидных решений исходного уравнения нет. Учитывая , заданное уравнение представим в виде: == и применим стандартный алгоритм решения уравнения.
2). Примем и запишем: =. Из условия: получаем решение: . Учитывая , получаем частные решения заданного уравнения в виде: – две прямые, проходящие через начало координат .
3). Принимая , запишем: – общее решение уравнения. В нашем случае: , или: , где . Из соображений удобства, можно записать общее решение в виде:
Ответ: общее решение уравнения: , также .
Замечание: Многие Случай-2 не выделяют (не замечают, в шахматах это называют – зевок).
☻
Задача-2, вариант:.
Требуется решить однородное уравнение, заданное в виде: , где функции и– однородные одного порядка–исходнаязапись. От этой записи нетрудно перейти к уравнению:==–стандартнаязапись однородного уравнения. Далее, используя результат Задачи-2 для варианта:, следует применитьстандартный алгоритмрешения однородного уравнения:.
Замечание: При переходе от исходной записи уравнения к записи в форме: требуется проверка условий =0 и =0 с целью выделения возможных решений из исходной записи уравнения: – прямая, параллельная оси и – прямая, параллельная оси .
☺☺
Пример 2–09: Решить дифференциальное уравнение: .
Решение:
1). Отмечаем: = и =. Очевидные решения исходного уравнения нетрудно заметить: – ось и – ось .
2). Перепишем исходное уравнение: == и применим стандартный алгоритм решения уравнения.
3). Примем и запишем: ==. Из условия: получаем решение: . Учитывая , получаем частное решение , которое уже учтено.
4). Принимая , запишем: – общее решение уравнения. В нашем случае: , или , или , где .
Ответ: общее решение уравнения: , также и .
Пример 2–10: Решить дифференциальное уравнение: .
Решение:
Случай-1.
1). Отмечаем: = и =. Очевидные решения исходного уравнения нетрудно заметить: – ось .
2). Перепишем исходное уравнение в виде ==, учтено: , . Далее применяем стандартный алгоритм решения однородного уравнения.
3). Примем и запишем: =. Так как принято , равенство: невозможно.
4). Учитывая , запишем: – общее решение уравнения. В нашем случае: =. Учитывая опыт интегрирования рациональных выражений, сразу заметим, что вычисление интеграла: потребует значительных усилий!
Случай-2.
2). Перепишем исходное уравнение в виде ==, учтено: , . Далее применяем стандартный алгоритм решения однородного уравнения.
3). Примем и запишем: =. Используя равенство: , получаем частные решения: . Учитывая , получаем частные решения заданного уравнения в виде: – две прямые, проходящие через начало координат ..
4). Учитывая , запишем: – общее решение уравнения. В нашем случае: =, или , или . Учитывая: , можем записать окончательно: – общее решение уравнения. Учитывая теорию кривых линий 2-го порядка (аналитическая геометрия), отмечаем: семейство интегральных кривых дифференциального уравнения есть множество гипербол: .
Ответ: общее решение уравнения: , также .
Замечание: Даже из нескольких Примеров нетрудно заметить, что решение дифференциальных уравнений требует достаточно высокой математической культуры: здесь и элементарная алгебра, и аналитическая геометрия, и много из математического анализа!..
☻