§ 3. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному уравнению.

Рассмотрим еще один тип дифференциальных уравнений, приводимых к простейшим уравнениям с разделяющимися переменными: =. При построении общего алгоритма решения указанного дифференциального уравнения будем считать, что выражения, используемые в его правой части : и : определяют уравнения прямых линий. Возможны два случая: 1) прямые линии и пересекаются,

2) прямые линии и параллельны.

Случай-1. Так какипересекаются, то определитель.

1). Учтём, что уравнение прямой линии простейшее, если она проходит через начало координат. Это значит, что, совершив параллельный перенос системы координат в точкупересечения прямыхи, получим простейшее выражение правой части уравнения.

2). Используя выражения параллельного переноса системы координат в уравнениях прямых линий и, получим:==,

==.

Так как точка есть пересечения прямыхи, то для нахождения чиселинеобходимо решить систему уравнений:Для рассматриваемого случая это система решение имеет, причём единственное.

4). Так как =, можем записать:==– однородное уравнение. Применяя стандартный алгоритм решения однородного уравнения, получим его общее решение, выраженное через переменныеи. Учитывая:и, получить выражение для общего решения заданного дифференциального уравнения.

☺☺

Пример 2–11: Пусть имеем запись уравнения: ==. Преобразуем его к виду однородного уравнения: ==.

Решение:

1). Условие примера предполагает применение Случая-1, причём только в части параллельного переноса системы координат в точкупересечения прямыхи.

2). Для определения точки , то есть для нахождения чиселинеобходимо решить систему уравнений:В нашем случае это:Единственное решение системы:=1 и=1.

3). Следовательно, для перехода от записи =к записи=необходимо применить преобразование:

Ответ: необходимое преобразование:

☻

Случай-2. Так как прямые линииипараллельны, то определитель.

1). Учитывая свойства определителя, можем записать: и. Но, тогда можем записать:=.

2). В таком случае имеем: ===. Так как уравнение вида:=подстановкойприводится к записи дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, можем считать задачу построения общего алгоритма решения уравнения для Случая-2 решённой.

☺☺

Пример 2–12: Пусть имеем запись уравнения: ==. Преобразуем его к виду однородного уравнения: =.

Решение:

1). Условие примера предполагает применение Случая-2: прямые линии ипараллельны. Преобразуем уравнение:==.

2). Следовательно, переходя к записи =, получаем запись=.

Ответ: необходимые преобразования показаны в тексте.

☻

§ 4. Обобщённые примеры решения уравнений специального вида.

Учитывая относительную сложность стандартного алгоритмарешения уравнений специального вида, приводящихся к однородным дифференциальным уравнениям, рассмотрим несколько типовых Примеров, иллюстрирующие особенности применения алгоритма.

☺☺

Пример 2–13: Решить дифференциальное уравнение: . (1)

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) имеет очевидное решение – уравнение прямой линии, параллельной оси .

2). Заданное ДУ – специального вида: с учётом его нетрудно преобразовать к виду: =. (2)

3). Уравнение вида (2) достаточно просто приводится к однородному уравнению, которое мы уже умеем решать! Так как прямые : и : пересекаются, то для перехода к однородному уравнению используют преобразование параллельного переноса начала координат исходной системы в точку пересечения этих прямых: , . Для нахождения величин решим систему уравнений: Нетрудно получить значения: .

4). Применяя преобразование: , , перепишем дифференциальное уравнение (2): – однородное уравнение. (3)

5). Примем и запишем выражение:. Исследуем равенство:, в нашем случае. Получаем два решения:и, илии, илии.

6). Пусть теперь . Вычислим интеграл: ==. Применяя правила интегрирования дробно-рациональных выражений, запишем:

==. (4)

8). Для функции получено общее решение:=, или. Учитывая, что, а также,перепишем общее решение использованием функции, используемой в исходном уравнении:.

Ответ: – общее решение ДУ, также и (которое выделяется из общего при значении ).

Пример 2–14: Решить дифференциальное уравнение: . (1)

Решение:

1). Уравнение (1) только слегка похоже на уравнение специального вида. Преобразуем дробь, которая является аргументом тангенса: ==–2. Теперь видим уравнение вида: , то есть специального вида. Нетрудно заметить, что прямые линии : и : перпендикулярны, то есть пересекаются! Для перехода к однородному уравнению используют преобразование параллельного переноса начала координат исходной системы в точку пересечения этих прямых (–1,–2). Эта точка определяет преобразование переменных: , .

2). Применяя преобразование: , , перепишем дифференциальное уравнение . Легко получаем уравнение: . (2)

3). Примем и запишем выражение:. Исследуем равенство:, у нас:. Получаем решения:,, или, или, или– семейство прямых линий.

4). Пусть теперь . Вычислим интеграл: ==. Применяя таблицу интегралов, запишем: =.

5). Для функции получено общее решение:=. Учитывая, что, а также,перепишем общее решение с использованием функции:.

Ответ: – общее решение ДУ, также ,.

☻