Лекция 14 Квадратичные формы
Определение квадратичной формы. Линейное преобразование неизвестных. Ранг формы. Основная теорема о квадратичных формах. Положительно определенные формы. Критерий Сильвестра. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду |
14.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Определение 1.Квадратичной формой от неизвестныхназывается сумма вида
, (14.1)
или развернуто
. (14.2)
Матрица , называетсяматрицей квадратичной формы(14.1), а ее ранг – рангом формы (14.1).
Если ранг формы равен , форма называетсяневырожденной(в этом случае ранг матрицыравени матрицаневырожденная).
В (14.2) ,,, поэтому коэффициент при слагаемомможно обозначить, т.е. допустить, что.
Ввиду последнего равенства - симметрическая матрица.
Запишем квадратичную форму (14.1) в матричном виде. Пусть , тогдаи
. (14.3)
Действительно, по определению умножения матриц имеем
Далее находим
и равенство (14.3) выполняется.
Определение 2.Линейным преобразованием неизвестных называется такой переход от системы неизвестныхк системенеизвестных, при котором старые неизвестные выражаются через новые линейно с некоторыми коэффициентами:
(14.4)
Линейное преобразование (14.4) однозначно определяется матрицей из коэффициентов ,.
Систему равенств (14.4) можно записать в матричном виде
. (14.5)
Определение 3.Линейное преобразование неизвестных с матрицей называется невырожденным, если -невырожденная матрица.
Теорема 1. Пусть вслед за линейным преобразованием (14.4) с матрицей выполняется линейное преобразование с матрицей ,,. Результирующее преобразование будет линейным с матрицей .
Доказательство. По условию
(14.6)
Подставив в (14.4) выражения для ,, из (14.6), получим линейные выражения для через , т.е. результат последовательного выполнения двух линейных преобразований неизвестных является линейным преобразованием.
Далее имеем , . Таким образом, результирующее преобразование имеет матрицей.
Пример 1. Вслед за линейным преобразованием
выполняется линейное преобразование
Найти матрицу результирующего преобразования и выписать выражения через.
Решение.Имеем,, где
,.
По теореме 1 матрица результирующего преобразования
,
и, таким образом,
Утверждение 1. Для любых двух матриц А и В
.
Доказательство. Пусть
,.
Обозначим ,,, .По определению произведения матриц .
Обозначим . По определению транспонированной матрицы.
Обозначим . Элемент равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца = сумме произведений элементов -го столбца на соответствующие элементы -й строки , и приходим к равенству .
Таким образом, , т.е..
Теорема 2. Квадратичная форма от n неизвестных с матрицей после выполнения линейного преобразования неизвестных с матрицей превращается в квадратичную форму от новых неизвестных с матрицей.
Доказательство. Пусть
(14.7)
и ,,.
В соответствии с утверждением 1 . Подставимив (14.7):
.
Матрица симметрическая, так как
.
Таким образом, преобразовалась в квадратичную форму от неизвестных с матрицей .
Докажем два вспомогательных утверждения.
Утверждение 2. Ранг произведения матриц не выше ранга сомножителей.
Доказательство. Достаточно провести доказательство для двух сомножителей.
Пусть , , , .
По определению произведения двух матриц
, , (14.8)
,
,
……………………………….
,
или
,
т.е. k-й столбец матрицы является линейной комбинацией столбцов матрицыс коэффициентамии система столбцов матрицылинейно выражается через систему столбцов матрицы, следовательно,.
По определению произведения матриц .
Аналогично, фиксируя в (14.8) и придаваязначения, получаем, что -я строка является линейной комбинацией строк матрицыи.
Утверждение 2 доказано.
Утверждение 3. Ранг произведения произвольной матрицы на невырожденную квадратную матрицу слева или справа равен рангу .
Доказательство. Пусть . В соответствии с утверждением 2 .
Умножим последнее равенство на справа: и опять воспользуемся леммой 2: . Отсюда .
Следствие из теоремы 2. Ранг квадратичной формы не изменяется при выполнении невырожденного линейного преобразования неизвестных.
Доказательство. Пусть - матрица квадратичной формы,- матрица некоторого невырожденного линейного преобразования неизвестных,- матрица квадратичной формыпосле выполнения преобразования.
По теореме 2 , а в силу утверждения 3 ().
Определение 4.Каноническим видом квадратичной формы называют сумму квадратов неизвестных с некоторыми коэффициентами.
Замечание.Число отличных от нуля коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы равно рангу формы.
В самом деле, пусть квадратичная форма
(14.9)
приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием неизвестных к каноническому виду
, (14.10)
где - новые неизвестные.
Пусть - матрица квадратичной формы (14.9),,,,- матрица квадратичной формы (14.10).
Матрица имеет следующий вид:.
Согласно следствию из теоремы 2 . Утверждение, что, означает, что в матрицена диагонали ровноэлементов отличны от нуля, тогда в каноническом виде (14.10) ровнослагаемых с коэффициентами, отличными от нуля.
Теорема 3 (основная теорема о квадратичных формах). Всякая квадратичная форма может быть приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду.
Доказательство. Доказательство проведем индукцией по числу неизвестных.
При имеем , т.е.- канонического вида.
Пусть утверждение теоремы справедливо для : всякую квадратичную форму от неизвестного можно привести к каноническому виду некоторым невырожденным линейным преобразованием и пусть
-
квадратичная форма от неизвестных .
Случай 1. В форме присутствует квадрат хотя бы одного неизвестного. Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что(в противном случае можно заново перенумеровать неизвестные). Тогдаможно записать в виде
. (14.11)
Действительно,
,
и в первое слагаемое в (14.11) вошли все члены формы , содержащие неизвестное; для того, чтобы (14.11) было справедливо, пришлось добавить, а затем вычесть несколько слагаемых, не содержащих, поэтому в (14.11)- некоторая квадратичная форма от неизвестных.
От неизвестных перейдем кпо формулам
(14.12)
или в матричной записи: , где
.
Матрица невырожденная, так как, следовательно,и.
Невырожденное линейное преобразование неизвестных приводит формук виду
. (14.13)
Квадратичная форма - форма от-го неизвестного и по предположению индукции найдется невырожденное линейное преобразование неизвестных, приводящее ее к каноническому виду. Пусть это преобразование с матрицей,:
(- невырожденная матрица и).
Рассмотрим теперь линейное преобразование неизвестных :
(14.14)
или в матричной записи , где
.
Линейное преобразование (14.14) невырожденное, так как и приводит квадратичную форму (14.13) к виду
(14.15)
Последовательное выполнение линейных преобразований (14.12) и (14.14) является линейным преобразованием и имеет матрицей (теорема 1). Оно будет невырожденным, так как. Линейное преобразованиеприводит квадратичную формук каноническому виду (14.15).
Утверждение теоремы в случае 1 доказано.
Случай 2. Квадратичная форма не содержит ни одного квадрата неизвестного ().
Совершим невырожденное линейное преобразование, приводящее к появлению квадратов неизвестных. Пусть, например, :
. (14.16)
Положим
или
.
Линейное преобразование невырожденное, так как, оно приведет квадратичную форму (14.16) к виду
,
появились квадраты неизвестных и, свели к уже рассмотренному случаю 1. Теорема 3 полностью доказана.
Пример 2. Квадратичную форму
привести к каноническому виду посредством невырожденного линейного преобразования.
Решение.Соберем все слагаемые, содержащие неизвестное, и дополним их до полного квадрата
.
(Так как .)
Положим
(14.17)
и от неизвестных формапримет вид.
Далее положим (14.18)
и от неизвестных формапримет уже канонический вид
. (14.19)
Разрешим равенства (14.17) относительно :
Последовательное выполнение линейных преобразований и, где
,,
имеет матрицей
.
Линейное преобразование неизвестных приводит квадратичную форму к каноническому виду (14.19).