1 семестр / Линейная Алгебра / Новая папка / ржавинская лекции / ржавинская лекции / Лекция_10_2
.docЛекция 10
Линейные пространства
Аксиоматическое определение линейного пространства. Базис и размерность линейного пространства |
10.1. Аксиоматическое определение
линейного пространства
Определение 1. Совокупность элементов произвольной природы называется линейным пространством, если для любых элементов и из установлено понятие суммы , а для любого элемента из и любого действительного числа установлено понятие произведения элемента на число , обозначаемое . При этом для введенных операций выполнены следующие восемь аксиом:
1. Сложение коммутативно: .
2. Сложение ассоциативно:.
3. Существует нулевой вектор , удовлетворяющий условию для всех .
4. Для любого вектора существует противоположный вектор , удовлетворяющий условию .
Для любых векторов , и любых действительных чисел имеют место равенства:
5. .
6. .
7. .
8. .
Элементы линейного пространства принято называть векторами.
Пример 1. Совокупность всех многочленов степени составляет линейное пространство.
Решение. Проверим выполнение всех аксиом.
В самом деле, пусть
;
.
По правилу сложения двух многочленов имеем
,
следовательно, аксиома 1 выполняется.
Аксиома 2 проверяется аналогично.
В качестве нулевого вектора берем многочлен, тождественно равный нулю: .
Для любого многочлена имеет место аксиома 3:
.
Проверим выполнение аксиомы 4.
Пусть - произвольный многочлен из . В качестве противоположного элемента возьмем многочлен . По свойству сложения многочленов имеем
.
Таким образом, аксиома 4 верна.
Аксиомы 5 - 8 проверяются аналогично.
Так как все аксиомы линейного пространства выполняются для множества многочленов степени , то является линейным пространством.
Пример 2. Совокупность всех квадратных матриц порядка 2 составляет линейное пространство.
Решение. Проверим выполнение аксиом.
Пусть , .
По правилу сложения матриц
.
Но элементы матриц - вещественные числа, следовательно, и
,
аксиома 1 выполняется.
Пусть .
По правилу сложения матриц
,
.
Так как элементы матриц - вещественные числа , откуда
,
аксиома 2 выполняется.
В качестве нулевого вектора выступает матрица .
Действительно, для любой матрицы имеем:
,
аксиома 3 выполняется.
Для произвольной матрицы в качестве противоположного элемента возьмем матрицу .
По правилу сложения матриц
,
аксиома 4 имеет место.
Итак, аксиомы 1 - 4 справедливы. Аналогично проверяется выполнение аксиом 5 - 8. Таким образом, совокупность всех квадратных матриц 2-го порядка - линейное пространство.
Упражнения
1. Доказать, что множество всех геометрических векторов является линейным пространством.
2. Пусть - множество всех упорядоченных наборов чисел вида . Пусть и . Положим . Пусть - произвольное действительное число, положим . Доказать, что - линейное пространство ( называют линейным пространством -мерных арифметических векторов).
3. Доказать, что множество непрерывных на отрезке функций является линейным пространством.
Следует отметить, что, вводя линейное пространство, мы отвлекаемся не только от конкретной природы изучаемых объектов, но и от конкретных правил образования суммы векторов и произведения на число, - важно лишь, чтобы эти правила удовлетворяли аксиомам, сформулированным в определении линейного пространства.
Укажем некоторые следствия из аксиом.
-
Единственность нулевого элемента.
Действительно, допустим, и - нулевые элементы, следовательно, .
Имеем (так как - нулевой), но (так как - нулевой), следовательно, .
2. Единственность противоположного элемента.
Пусть и , - противоположные элементы для , т.е. , .
Рассмотрим вектор . Имеем
.
С другой стороны,
.
Теперь всюду далее противоположный элемент для будем обозначать .
3. Существование и единственность разности.
Дадим определение разности. Для любых двух векторов и назовем разностью и такой вектор , что . Обозначим .
Положим .
Имеем
.
Следовательно, вектор удовлетворяет определению разности.
Покажем, что он единственный вектор, удовлетворяющий этому определению.
Пусть .
К обеим частям последнего равенства прибавим вектор :
-
таким образом, вектор - единственный.
-
Для любого вещественного числа .
5. Для любого вектора .
6. Если , то либо , либо .
Для любого вещественного числа и любого справедливы соотношения:
7. ;
8. .
Следствия 4 - 8 докажите самостоятельно.
10.2. Базис линейного пространства
Определение 2. Пусть - линейное пространство. Вектор называется линейной комбинацией векторов , если найдутся такие числа , что
.
Определение 3. Система векторов , принадлежащих линейному пространству , называется линейно зависимой, если найдутся такие числа , не все равные нулю одновременно, что выполняется равенство
.
Определение линейно зависимой системы векторов можно дать в следующей эквивалентной форме, иногда более удобной.
Определение 3'. Система векторов , принадлежащих линейному пространству , называется линейно зависимой, если один из векторов является линейной комбинацией остальных.
Определение 4. Система векторов , принадлежащих линейному пространству , называется линейно независимой, если из равенства
следует, что .
Пример 3. Пусть - линейное пространство всех матриц порядка . Доказать, что векторы
и
линейно независимы.
Решение. Рассмотрим линейную комбинацию :
. (10.1)
Привлекая правила умножения матриц на число и сложения матриц, получим
. (10.2)
Равенства (10.1) и (10.2) дают
откуда , следовательно, и линейно независимы.
Справедливы следующие два утверждения, доказательство которых приведено в лекции 1.
Теорема 1. Всякая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.
Теорема 2. Всякая система векторов , содержащая линейно зависимую подсистему векторов, , линейно зависима.
Определение 5. Система векторов линейного пространства называется базисом в , если:
1) линейно независима;
2) (вещественные числа):
. (10.3)
Правая часть равенства (10.3) называется разложением вектора по базису , а числа - координатами вектора в базисе .
Приведем примеры базисов в конкретных линейных пространствах.
Пример 4. - линейное пространство всех геометрических векторов, базисом являются любые три некомпланарных вектора.
Пример 5. - линейное пространство всех многочленов степени . Показать, что базисом является система векторов .
Решение. Составим линейную комбинацию векторов и приравняем ее нулевому вектору:
,
или
.
Имеет место основная теорема алгебры: всякий многочлен степени с действительными коэффициентами имеет ровно корней, при этом каждый корень считается столько раз, какова его кратность. Это утверждение означает, что равенство возможно не более, чем в точках, т.е. не может выполняться тождественно (как равенство между векторами в ).
Следовательно, допущение, что линейная комбинация векторов с коэффициентами равна нулевому вектору , влечет , а это означает, что линейно независимы.
Пусть - произвольный многочлен степени . В последней записи представлен в виде линейной комбинации векторов , что вместе с линейной независимостью этих векторов доказывает, что система - базис в пространстве многочленов степени (в соответствии с определением 5).
Пример 6. - линейное пространство всех квадратных матриц порядка 2. Показать, что базисом является система
, , , .
Решение. Убедимся в том, что система линейно независима. Составим линейную комбинацию и приравняем ее :
,
или
,
откуда
.
Последнее равенство дает , следовательно, система векторов линейно независима.
Пусть - произвольный вектор из .
Привлекая определения сложения матриц и умножения матрицы на число, получим
,
т.е. любой вектор из можно представить в виде линейной комбинации . В соответствии с определением 5 это вместе с доказанной выше линейной независимостью означает, что - базис.
Упражнение. Доказать, что в линейном пространстве система векторов , , …, является базисом.
Теорема 3. Пусть - линейное пространство, - базис в , . Координаты относительно базиса определены однозначно.
Доказательство. Пусть , и .
Имеем
.
С другой стороны,
.
Откуда в силу линейной независимости векторов следует , т.е. .
Допустив, что вектор имеет два разложения по базису , мы получили, что эти разложения совпадают, это и означает, что координаты вектора относительно базиса определены однозначно.
Теорема доказана.
Замечание. Доказательство Теоремы 3 почти дословно повторяет доказательство аналогичного утверждения для геометрических векторов (Теорема 6 в лекции 1). Как и при доказательстве Теорем 1 и 2 , не используется геометрическая природа векторов, а лишь понятия линейной зависимости и линейной независимости. Приведенную ниже Теорему 4 предлагаем доказать самостоятельно (см. Теорему 7 в Лекции 1).
Теорема 4. Пусть - линейное пространство, - базис в . При сложении любых двух векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число каждая координата умножается на это число.
Теорема 5. Пусть - линейное пространство, - базис в . Всякая система векторов при линейно зависима.
Доказательство. Достаточно доказать утверждение для (если , сошлемся на теорему 2).