1 семестр / Линейная Алгебра / Новая папка / ржавинская лекции / ржавинская лекции / Лекция_10

Лекция 10

Линейные пространства

Аксиоматическое определение линейного пространства. Базис и размерность линейного пространства

10.1. Аксиоматическое определение

линейного пространства

Определение 1. Совокупность элементов произвольной природы называется линейным пространством, если для любых элементов и из установлено понятие суммы , а для любого элемента из и любого действительного числа установлено понятие произведения элемента на число , обозначаемое . При этом для введенных операций выполнены следующие восемь аксиом:

1. Сложение коммутативно: .

2. Сложение ассоциативно:.

3. Существует нулевой вектор , удовлетворяющий условию для всех .

4. Для любого вектора существует противоположный вектор , удовлетворяющий условию .

Для любых векторов , и любых действительных чисел имеют место равенства:

5. .

6. .

7. .

8. .

Элементы линейного пространства принято называть векторами.

Пример 1. Совокупность всех многочленов степени составляет линейное пространство.

Решение. Проверим выполнение всех аксиом.

В самом деле, пусть

;

.

По правилу сложения двух многочленов имеем

,

следовательно, аксиома 1 выполняется.

Аксиома 2 проверяется аналогично.

В качестве нулевого вектора берем многочлен, тождественно равный нулю: .

Для любого многочлена имеет место аксиома 3:

.

Проверим выполнение аксиомы 4.

Пусть - произвольный многочлен из . В качестве противоположного элемента возьмем многочлен . По свойству сложения многочленов имеем

.

Таким образом, аксиома 4 верна.

Аксиомы 5 - 8 проверяются аналогично.

Так как все аксиомы линейного пространства выполняются для множества многочленов степени , то является линейным пространством.

Пример 2. Совокупность всех квадратных матриц порядка 2 составляет линейное пространство.

Решение. Проверим выполнение аксиом.

Пусть , .

По правилу сложения матриц

.

Но элементы матриц - вещественные числа, следовательно, и

,

аксиома 1 выполняется.

Пусть .

По правилу сложения матриц

,

.

Так как элементы матриц - вещественные числа , откуда

,

аксиома 2 выполняется.

В качестве нулевого вектора выступает матрица .

Действительно, для любой матрицы имеем:

,

аксиома 3 выполняется.

Для произвольной матрицы в качестве противоположного элемента возьмем матрицу .

По правилу сложения матриц

,

аксиома 4 имеет место.

Итак, аксиомы 1 - 4 справедливы. Аналогично проверяется выполнение аксиом 5 - 8. Таким образом, совокупность всех квадратных матриц 2-го порядка - линейное пространство.

Упражнения

1. Доказать, что множество всех геометрических векторов является линейным пространством.

2. Пусть - множество всех упорядоченных наборов чисел вида . Пусть и . Положим . Пусть - произвольное действительное число, положим . Доказать, что - линейное пространство ( называют линейным пространством -мерных арифметических векторов).

3. Доказать, что множество непрерывных на отрезке функций является линейным пространством.

Следует отметить, что, вводя линейное пространство, мы отвлекаемся не только от конкретной природы изучаемых объектов, но и от конкретных правил образования суммы векторов и произведения на число, - важно лишь, чтобы эти правила удовлетворяли аксиомам, сформулированным в определении линейного пространства.

Укажем некоторые следствия из аксиом.

1. Единственность нулевого элемента.

Действительно, допустим, и - нулевые элементы, следовательно, .

Имеем (так как - нулевой), но (так как - нулевой), следовательно, .

2. Единственность противоположного элемента.

Пусть и , - противоположные элементы для , т.е. , .

Рассмотрим вектор . Имеем

.

С другой стороны,

.

Теперь всюду далее противоположный элемент для будем обозначать .

3. Существование и единственность разности.

Дадим определение разности. Для любых двух векторов и назовем разностью и такой вектор , что . Обозначим .

Положим .

Имеем

.

Следовательно, вектор удовлетворяет определению разности.

Покажем, что он единственный вектор, удовлетворяющий этому определению.

Пусть .

К обеим частям последнего равенства прибавим вектор :

-

таким образом, вектор - единственный.

4. Для любого вещественного числа .

5. Для любого вектора .

6. Если , то либо , либо .

Для любого вещественного числа и любого справедливы соотношения:

7. ;

8. .

Следствия 4 - 8 докажите самостоятельно.

10.2. Базис линейного пространства

Определение 2. Пусть - линейное пространство. Вектор называется линейной комбинацией векторов , если найдутся такие числа , что

.

Определение 3. Система векторов , принадлежащих линейному пространству , называется линейно зависимой, если найдутся такие числа , не все равные нулю одновременно, что выполняется равенство

.

Определение линейно зависимой системы векторов можно дать в следующей эквивалентной форме, иногда более удобной.

Определение 3'. Система векторов , принадлежащих линейному пространству , называется линейно зависимой, если один из векторов является линейной комбинацией остальных.

Определение 4. Система векторов , принадлежащих линейному пространству , называется линейно независимой, если из равенства

следует, что .

Пример 3. Пусть - линейное пространство всех матриц порядка . Доказать, что векторы

и

линейно независимы.

Решение. Рассмотрим линейную комбинацию :

. (10.1)

Привлекая правила умножения матриц на число и сложения матриц, получим

. (10.2)

Равенства (10.1) и (10.2) дают

откуда , следовательно, и линейно независимы.

Справедливы следующие два утверждения, доказательство которых приведено в лекции 1.

Теорема 1. Всякая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

Теорема 2. Всякая система векторов , содержащая линейно зависимую подсистему векторов, , линейно зависима.

Определение 5. Система векторов линейного пространства называется базисом в , если:

1) линейно независима;

2) (вещественные числа):

. (10.3)

Правая часть равенства (10.3) называется разложением вектора по базису , а числа - координатами вектора в базисе .

Приведем примеры базисов в конкретных линейных пространствах.

Пример 4. - линейное пространство всех геометрических векторов, базисом являются любые три некомпланарных вектора.

Пример 5. - линейное пространство всех многочленов степени . Показать, что базисом является система векторов .

Решение. Составим линейную комбинацию векторов и приравняем ее нулевому вектору:

,

или

.

Имеет место основная теорема алгебры: всякий многочлен степени с действительными коэффициентами имеет ровно корней, при этом каждый корень считается столько раз, какова его кратность. Это утверждение означает, что равенство возможно не более, чем в точках, т.е. не может выполняться тождественно (как равенство между векторами в ).

Следовательно, допущение, что линейная комбинация векторов с коэффициентами равна нулевому вектору , влечет , а это означает, что линейно независимы.

Пусть - произвольный многочлен степени . В последней записи представлен в виде линейной комбинации векторов , что вместе с линейной независимостью этих векторов доказывает, что система - базис в пространстве многочленов степени (в соответствии с определением 5).

Пример 6. - линейное пространство всех квадратных матриц порядка 2. Показать, что базисом является система

, , , .

Решение. Убедимся в том, что система линейно независима. Составим линейную комбинацию и приравняем ее :

,

или

,

откуда

.

Последнее равенство дает , следовательно, система векторов линейно независима.

Пусть - произвольный вектор из .

Привлекая определения сложения матриц и умножения матрицы на число, получим

,

т.е. любой вектор из можно представить в виде линейной комбинации . В соответствии с определением 5 это вместе с доказанной выше линейной независимостью означает, что - базис.

Упражнение. Доказать, что в линейном пространстве система векторов , , …, является базисом.

Теорема 3. Пусть - линейное пространство, - базис в , . Координаты относительно базиса определены однозначно.

Доказательство. Пусть , и .

Имеем

.

С другой стороны,

.

Откуда в силу линейной независимости векторов следует , т.е. .

Допустив, что вектор имеет два разложения по базису , мы получили, что эти разложения совпадают, это и означает, что координаты вектора относительно базиса определены однозначно.

Теорема доказана.

Замечание. Доказательство Теоремы 3 почти дословно повторяет доказательство аналогичного утверждения для геометрических векторов (Теорема 6 в лекции 1). Как и при доказательстве Теорем 1 и 2 , не используется геометрическая природа векторов, а лишь понятия линейной зависимости и линейной независимости. Приведенную ниже Теорему 4 предлагаем доказать самостоятельно (см. Теорему 7 в Лекции 1).

Теорема 4. Пусть - линейное пространство, - базис в . При сложении любых двух векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число каждая координата умножается на это число.

Теорема 5. Пусть - линейное пространство, - базис в . Всякая система векторов при линейно зависима.

Доказательство. Достаточно доказать утверждение для (если , сошлемся на теорему 2).