1 семестр / Линейная Алгебра / Новая папка / ржавинская лекции / ржавинская лекции / Лекция_10_2
.docПусть - произвольная система векторов в .
Случай 1. Среди есть , следовательно, система линейно зависима.
Случай 2. .
Так как система - базис, существуют такие , что
,
, (10.4)
……………………………………
.
Среди чисел есть отличные от нуля (иначе ). Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что (в противном случае можно перенумеровать базисные векторы), следовательно,
. (10.5)
Подставив (10.5) во все равенства (10.4), начиная со второго, получим
,
…………………………………… (10.6)
.
Векторы линейно выражаются через .
Если в первом равенстве в системе (10.6) , то , и система векторов линейно зависима. Тогда, согласно теореме 2, система векторов также линейно зависима.
Если же среди есть отличные от нуля, то, не ограничивая общности рассуждений, считаем, что .
Из первого равенства в (10.6) имеем
. (10.7)
Подставим (10.7) во все равенства (10.6), начиная со второго, получим выражения через .
Процедуру повторим раза и придем к равенству
.
Один из векторов системы оказался линейной комбинацией остальных, следовательно, линейно зависимы.
Теорема доказана.
Следствие. Все базисы линейного пространства состоят из одного и того же числа векторов.
Действительно, пусть (I) и (II) - два базиса в .
Допустим, . Так как система (I) - базис, то в силу теоремы 5 это означает, что система (II) линейно зависима. Это противоречит тому, что (II) - базис. Отсюда .
Допустим теперь, что . Так как система (II) - базис, то в силу теоремы 5 это означает, что система (I) линейно зависима. Это противоречит тому, что (I) - базис. Следовательно, .
Вместе эти два заключения дают .
Определение 6. Число векторов в любом базисе линейного пространства называется размерностью линейного пространства.
Для размерности линейного пространства принято обозначение .
В рассмотренных примерах:
-
если - линейное пространство всех геометрических векторов пространства, ;
-
если - линейное пространство всех многочленов степени , ;
-
если - линейное пространство всех квадратных матриц порядка 2, .